Příklady pro samostudium

Příklady jsou vhodné pro samostudium

POZOR!

Pro aktivaci interaktivní grafiky, která je součástí každého PDF souboru, je nutné nahlédnou do návodu ZDE.

Jednotlivé PDF soubory obsahují kompletně okomentované řešení daného příkladu.

Definiční obor funkce dvou proměnných

definicni_obor_pr1 Určete a zakreslete definiční obor funkce $f(x,y)=\mathrm{arcsin}(2x)+\sqrt{1-y^2}$.
PDF ZDE: Příklad 1.
definicni_obor_pr2 Určete a zakreslete definiční obor funkce $f(x,y)=\ln{\bigl((9-x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}-4)\bigr)}$.
PDF ZDE: Příklad 2.
definicni_obor_pr3 Určete a zakreslete definiční obor funkce $f(x,y)=\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Vrstevnice funkce dvou proměnných

vrstevnice_pr1 Určete rovnice vrstevnic funkce $f(x,y)=\sqrt{xy}$ a znázorněte vrstevnice vzniklé průnikem rovin $f(x,y)=c$, $c=0,1,2,3,4,5$.
PDF ZDE: Příklad 1.
vrstevnice_pr2 Určete rovnice vrstevnic funkce $f(x,y)=1-|x|-|y|$ a znázorněte vrstevnice vzniklé průnikem rovin $f(x,y)=c$, $c=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$.
PDF ZDE: Příklad 2.
vrstevnice_pr3 Určete rovnice vrstevnic funkce $f(x,y)=\frac1{(x-1)^2+y^2}$ a znázorněte vrstevnice vzniklé průnikem rovin $f(x,y)=c$, $c=\frac14,\frac13,\frac12,1,2,3,4,5$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Parciální derivace

parcialni_derivace_pr1 Uvažujte funkci $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Vypočítejte první parciální derivace funkce $f(x,y)$ v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(2,1\right)$.
PDF ZDE: Příklad 1.
parcialni_derivace_pr2 Nechť je dána funkce $f(x,y)=\frac{1}{4}x^{3}y^{2}-\frac{1}{5}x^{3}+\frac{1}{4}xy$. Vypočítejte první parciální derivace funkce $f(x,y)$ v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right)$.
PDF ZDE: Příklad 2.
parcialni_derivace_pr3 Vypočítejte první parciální derivace funkce $f(x,y)=x+y\ln x$ v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\mathrm{e},0\right)$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Diferenciál

diferencial_pr1 Najděte rovnici tečné roviny ke grafu funkce $f(x,y) = \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$ v bodě $T = \left(1,-2,?\right)$.
PDF ZDE: Příklad 1.
diferencial_pr2 a) Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce $f(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}+y^{2}$ v bodě $\left(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\right) = \left(1,0,\frac{1}{2}\right).$
b) Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně $f(x,y)=\frac{1}{2}\left(2{,}5\right)^{2}+\left(-0{,}25\right)^{2}$.
PDF ZDE: Příklad 2.
diferencial_pr3 Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně $\mathrm{arctg}\left(\frac{1{,}49}{0{,}85}\right)$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Směrová derivace

smerova_derivace_pr1 Nechť je dána funkce $f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$. Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)$ v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{4}\right)$ ve směru jednotkového vektoru $\mathbf{u}=\frac{\left(-2,1\right)}{\left|\left|\left(-2,1\right)\right|\right|}$.
PDF ZDE: Příklad 1.
smerova_derivace_pr2 Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=\mathrm{e}^{(x^2+y^2)}$. v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right)$ ve směru vektoru $\mathbf{u}=\left(2,1\right)}$.
PDF ZDE: Příklad 2.
smerova_derivace_pr3 Je zadaná funkce $f(x,y)=\frac{1}{5}x^{4}+\frac{1}{5}x^{2}y^{2}+\frac{1}{5}y^{4}$. Najděte jednotkový vektor $\mathbf{u}$, pro nějž je směrová derivace funkce $f(x,y)$ v bodě $\left(x_{0},y_{0}\right) = \left(1,1\right)$ maximální a určete její hodnotu.
PDF ZDE: Příklad 3.

Taylorův mnohočlen

taylor_pr1 Najděte Taylorův mnohočlen prvního, druhého, třetího a čtvrtého řádu funkce $f(x,y)=\sin{x}\sin{y}$ se středem v bodě $S=\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$.
PDF ZDE: Příklad 1.
def_pr2 Najděte Taylorův mnohočlen prvního, druhého, třetího a čtvrtého řádu funkce $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ se středem v bodě $S=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.
PDF ZDE: Příklad 2.
def_pr3 Najděte Taylorův mnohočlen prvního, druhého, třetího a čtvrtého řádu funkce $f(x,y)=\mathrm{e}^{x^2+y^2}$ se středem v bodě $S=\left(0,0\right)$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Lokální extrémy

lokalni_extremy_pr1 Najděte lokální extrémy funkce $f(x,y)=\frac{27}{10}x^{2}y+\frac{14}{10}y^{3}-\frac{69}{10}y-\frac{54}{10}x$.
PDF ZDE: Příklad 1.
lokalni_extremy_pr2 Najděte lokální extrémy funkce $f(x,y) = 1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
PDF ZDE: Příklad 2.
lokalni_extremy_pr3 Najděte lokální extrémy funkce $f(x,y) = \frac{1}{10}\left(x-y-1\right)^2$.
PDF ZDE: Příklad 3.

Globální extrémy

globalni_extremy_pr1 Najděte globální extrémy funkce $f(x,y) = x^3+y^2-2y+2$ na množině $M=\langle-1,1\rangle\times\langle0,2\rangle$.
PDF ZDE: Příklad 1.
globalni_extremy_pr2 Najděte globální extrémy funkce $f(x,y) = 3xy$ na množině $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x^2=y^2\leq 4\}$.
PDF ZDE: Příklad 2.
globalni_extremy_pr3 Najděte globální extrémy funkce $f(x,y) = y^2-2y+\mathrm{e}^{-x^2}$ na množině $M=\langle-1,1\rangle\times\langle0,2\rangle$.
PDF ZDE: Příklad 3.