35. archiv zajímavých úloh

35.1. Prvočíselný cyklus

Máme tři neznámé A, B, C. Hledáme jejich hodnotu tak, aby AB, BC, CA, ABC, BCA i CAB byla prvočísla.

Úkol

Najděte různé číslice A, B, C tak, aby AB, BC, CA, ABC, BCA i CAB byla prvočísla.

Zkouška

35.2. Papírový glóbus II

Úloha navazuje na úlohu Papírový glóbus I. Z dvanácti papírových proužků je možno slepit glóbus tak, jako kdyby byl vepsán do koule.

Otázka

Jaký je povrch papírového glóbu a jak se vypočítá?

Zkouška

35.3. Sumační nerovnost

Je dána permutace pi množiny { 1, 2, ..., n }
(Každému číslu i přiřadíme jedno číslo p(i); různým číslům přiřadíme různé hodnoty: pro i <> j je p(i) <> p(j)).

Úkol

Ukažte, že součet součinů je menší než součet kvadrátů, neboli že platí ∑i=1n ai api(i)   ≤   ∑i=1n ai2 pro libovolná reálná čísla ai , kde i = 1, 2, ..., n.

35.4. Prvočíselná dvojčata

Dvojice prvočísel, jejichž rozdíl je roven 2 nazývá prvočíselná dvojčata - například 17 a 19.

Úkol

Ukažte, že číslo mezi prvočíselnými dvojčaty je vždy dělitelné 6 (předpokládáme, že obě prvočíselná dvojčata jsou větší než 3).

35.5. Sto vězňů a žárovka II

Ve vězení je zavřeno sto vězňů, každý na samotce bez oken. Cely jsou zvukotěsné. Ve vězení je "vycházková" místnost, ve které je na stole lampa s jedinou žárovkou. Na rozdíl od úlohy Sto vězňů a žárovka I však nevíme, zda je žárovka na začátku zhasnutá či zda svítí. Žádný vězeň ze své cely pochopitelně nepozná, zda lampa svítí či ne.

Jednou za čas vyberou stráže náhodně jednoho vězně a umožní mu pobyt ve vycházkové místnosti. Každý vězeň má stejnou šanci navštívit vycházkovou místnost, jsou vybíráni losováním. Vězeň však může (ale nemusí) během svého pobytu rozsvítit nebo zhasnout lampu. Po nějaké době zavedou stráže vězně zpět do cely. Vězňové nepoznají, který je den a kolik vězňů už před ním ve vycházkové místnosti bylo. Žádní dva vězni se na vycházce nepotkají.

Vězni však mají možnost dostat milost, jestliže některý z nich pozná, že každý vězeň již byl ve vycházkové místnosti alespoň jedenkrát. Pokud však některý vězeň prohlásí, že všichni vězni již navštívili vycházkovou místnost a bude se mýlit (tj. některý vězeň do té doby ještě vycházkovou místnost nenavštívil), nejen že ztratí všichni vězni šanci na propuštění, ale dokonce budou všichni zastřeleni. Proto pochopitelně, musí mít vězeň, který žádá o milost pro sebe a ostatní, stoprocentní jistotu, že ve vycházkové místnosti byli všichni vězni.

Před tím, než jsou všichni zavřeni do cel, je vězňům dovoleno sejít se jedenkrát na dvoře vězení a domluvit se na strategii.

Otázka

Předpokládejme, že los je spravedlivý a že každý vězeň jednou za čas navštíví vycházkovou místnost. Jakou strategii si mohou vězni domluvit, aby získali milost?

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970