30. archiv zajímavých úloh

30.1. Sto vězňů a žárovka I

Ve vězení je zavřeno sto vězňů, každý na samotce bez oken. Cely jsou zvukotěsné. Ve vězení je "vycházková" místnost, ve které je na stole lampa s jedinou žárovkou. Předpokládáme, že žárovka je na začátku zhasnutá. Žádný vězeň ze své cely pochopitelně nepozná, zda lampa svítí či ne.

Každý den vyberou stráže náhodně jednoho vězně a umožní mu pobyt ve vycházkové místnosti. Každý vězeň má stejnou šanci navštívit vycházkovou místnost, jsou vybíráni losováním. Vězeň může (ale nemusí) během svého pobytu rozsvítit nebo zhasnout lampu. Večer zavedou stráže vězně zpět do cely.

Vězni však mají možnost dostat milost, jestliže některý z nich pozná, že každý vězeň již byl ve vycházkové místnosti alespoň jedenkrát. Pokud však některý vězeň prohlásí, že všichni vězni již navštívili vycházkovou místnost a bude se mýlit (tj. některý vězeň do té doby ještě vycházkovou místnost nenavštívil), nejen že ztratí všichni vězni šanci na propuštění, ale dokonce budou všichni zastřeleni. Proto pochopitelně musí mít vězeň, který žádá o milost pro sebe a ostatní, stoprocentní jistotu, že ve vycházkové místnosti byli všichni vězni.

Před tím, než jsou všichni zavřeni do cel, je vězňům dovoleno sejít se jedenkrát na dvoře vězení a domluvit se na strategii.

Otázka

Předpokládejme, že los je spravedlivý a že každý vězeň jednou za čas navštíví vycházkovou místnost. Jakou strategii si mohou vězni domluvit, aby získali milost?

30.2. Barevné čepice I

Ve hře "barevné čepice" může skupina pěti soutěžících vyhrát cenu, pokud každý uhodne barvu své čepice. Na začátku hry dostane každý soutěžící čepici tak, aby neviděl její barvu. Soutěžící sedí na schodišti a každý vidí pouze hlavy těch kolegů, kteří sedí na schodišti pod ním.

Barevné čepice jsou vybírány náhodně (např. hodem mince) ze dvou barev: černé a bílé. Organizátor soutěže se po řadě ptá jednotlivých soutěžících, jakou mají barvu čepice. První na řadě je ten, kdo sedí na schodišti nejvýše a zná barvy čepic všech svých kolegů, nezná jen barvu své čepice. Odpovědět může jen "černá" nebo "bílá" tak, aby všichni slyšeli. Žádné jiné způsoby komunikace nejsou dovoleny.

Otázky

Jakou strategii byste doporučili hráčům, aby jejich šance na výhru byla co největší? S jakou pravděpodobností získají soutěžící výhru?

Zkouška

30.3. Sklenice z poloviny plná

Máme sklenici vody. Sklenice je ve tvaru válce, průhledná a vypadá to, že je plná přibližně z poloviny. Chtěli bychom zjistit, jestli voda ve sklenici zabírá polovinu objemu, nebo o něco málo více než polovinu objemu, nebo o něco málo méně než polovinu objemu. K dispozici nemáme žádná měřítka nebo tužky.

Otázka

Jak můžeme přesně zjistit, zda je sklenice plná přesně z poloviny, nebo zda je vody ve sklenici méně nebo více než polovina?

30.4. O cestování na Zemi

Známá hříčka praví

Lovec se vydal ze svého tábora 100 mil na jih, potom zatočil a šel dalších 100 mil na východ a ulovil medvěda. S kořistí se vydal 100 mil na sever a dorazil zpět do tábora. Jakou barvu měl medvědí kožich?

Avšak pozor! Takových míst, ze kterých je možno vykonat pouť jako lovec medvědů v úloze, je na Zemi mnohem, mnohem víc.

Poznámka

Při řešení považujeme za smysluplné pouze takové cesty, pro které je směr jednoznačně určen během celého putování. Například 50 mil od severního pólu jistě nemá smysl putovat 100 mil na sever, podobně stojíme-li na pólu nemůžeme jít na východ nebo na západ.

Úkol

Najděte všechna místa na Zemi, ze kterých je možno vydat se 100 mil na jih, dále 100 mil na východ a nakonec 100 mil na sever a takto dorazit na výchozí místo.

30.5. Odysseus a Poseidón

Chytrý Odysseus se podle pověstí často dostával do sporu s Řeckými bohy, neboť věřil ve své vlastní schopnosti a nikoli v osud určený bohy.

Zejména Poseidón Odysseovi nepřál a tak zařídil, aby Odysseus byl neprávem nařčen ze zločinu, který nespáchal, a odsouzen k trestu smrti. Podle tradice mu však byla ponechána šance na záchranu - pokud mu budou bohové nakloněni. Před popravou před Odyssea postaví amforu, ve které budou vyloupané fazole: devět černých a jedna bílá fazolka. Pokud si vylosuje bílou fazolku, bude volný.

Poseidón prostřednictvím svých sluhů zařídil, aby v amfoře bylo deset černých a žádná bílá fazolka. Naštěstí Odysseus neměl jen nepřátele, Hermes mu vše o chystaném úskoku prozradil.

Chytrý Odysseus přelstil své nepřátele i tentokrát, neboť přišel na způsob jak se zachránit.

Otázka

Jak se Odysseus zachránil?

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970