Nevyřešené úlohy

Na této stránce uveřejňuji úlohy, jejichž řešení zatím neznám. Protože nevím, jak je jejich řešení obtížné, neuvádím žádné body.

Jestliže mi pošlete řešení následujících úloh, tak si je založím. Nemohu pochopitělně přidělovat body, protože nemám představu o obtížnosti řešení. Úlohy budu považovat za připravené, teprve až je sám vyřeším. Zkonfrontuji svoje a případně nějaké dodané řešení a potom určím obtížnost úlohy a počet bodů.

Nekonečná síť rezistorů

Máme nekonečnou síť (jako čtverečkovaný papír), ve které je každá hrana nahrazena odporem o velikosti 1 Ω.

Otázky

a) Jaký je odpor mezi dvěma sousedními vrcholy? b) Jaký je odpor mezi dvěma protilehlými vrcholy jednoho čtverce? c) Jaký je odpor mezi dvěma vrcholy v pozici šachového koníka?

(od 13.8.2009)  

Obrazce z pentomina

Pentomino obsahuje celkem dvanáct tvarů sestavených z pěti čtverečků.

Úkol

Rozdělte všechny dílky do čtyř skupin po třech dílcích a sestavte čtyři shodné obrazce, každý z patnácti čtverečků. Pokud takové uspořádání není možné, dokažte své tvrzení.

(od roku 2007)  

Vážení mincí II

Máme dáno n mincí. Některé z nich jsou falešné, což se projeví jinou hmotností mince: falešné mince jsou lehčí než pravé mince. Nevíme však, kolik je falešných mincí, ale víme, že všechny falešné mince váží stejně. Alespoň jedna mince je pravá. K dispozici máme rovnoramenné váhy.

Otázky

a) Mezi kolika (nejvíce) mincemi najdeme všechny falešné mince pomocí dvou vážení? b) Mezi kolika (nejvíce) mincemi najdeme všechny falešné mince pomocí tří vážení? c) Mezi kolika (nejvíce) mincemi najdeme všechny falešné mince pomocí n vážení?

(od roku 2007)  

Pravidelné mnohostěny III

Existuje pět pravidelných mnohostěnů. Pravidelné mnohostěny jsou po dvou duální, tj. můžeme vepsat osmistěn do krychle a krychli do osmistěnu, dvanáctistěn do dvacetistěnu a dvacetistěn do dvanáctistěnu, čtyřstěn do čtyřstěnu. Jaký je poměr délek hran takto vepsaných těles?

Do čtyřstěnu C₁ vepíšeme čtyřstěn C₂.
Do krychle K₁ vepíšeme osmistěn O₁. Do osmistěnu O₁ vepíšeme krychli K₂ a do ní osmistěn O₂.
Do dvanáctistěnu T₁ vepíšeme dvacetistěn D₁. Do dvacetistěnu D₁ vepíšeme dvanáctistěn T₂ a do něj dvacetistěn D₂.

Otázky

a) Jaký je poměr délek hran čtyřstěnů C1 a C2? b) Jaký je poměr délek hran krychlí K1 a K2? c) Jaký je poměr délek hran osmistěnů O1 a O2? d) Jaký je poměr délek hran dvanáctistěnů T1 a T2? e) Jaký je poměr délek hran dvacetistěnů D1 a D2?

(od roku 2001)  

Pravidelné mnohostěny II

Existuje pět pravidelných mnohostěnů. Každému z nich je možno opsat kouli. Jaký je poloměr koulí opsaných pravidelným mnohostěnům?

Otázky

a) Čtyřstěnu C opíšeme kouli K1. Jaký je poloměr opsané koule K1? b) Krychli K opíšeme kouli K2. Jaký je poloměr opsané koule K2? c) Pravidelnému osmistěnu O opíšeme kouli K3. Jaký je poloměr opsané koule K3? d) Pravidelnému dvanáctistěnu T opíšeme kouli K4. Jaký je poloměr opsané koule K4? e) Pravidelnému dvacetistěnu D opíšeme kouli K5. Jaký je poloměr opsané koule K5?

(od roku 2001)  

Pravidelné mnohostěny I

Existuje pět pravidelných mnohostěnů: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn.

Pravidelné mnohostěny mají všechny hrany stejně dlouhé. Délku strany označíme a.

Otázky

a) Jaká je výška pravidelného čtyřstěnu o hraně a? b) Jaká je délka tělesové úhlopříčky pravidelné krychle o hraně a? c) Jaká je délka tělesové úhlopříčky pravidelného osmistěnu o hraně a? d) Jaká je délka nejdelší tělesové úhlopříčky pravidelného dvanáctistěnu o hraně a? e) Jaká je délka nejdelší tělesové úhlopříčky pravidelného dvacetistěnu o hraně a?

(od roku 2001)  

Následující úloha už byla jednou vystavena jako úloha vyřešená. Ukázalo se však, že se jedná o úlohu dosti obtížnou. Zatím se mi ji nepodařilo vyřešit.

Karty na hraně stolu

K dispozici máme 64 karet (dva balíčky po 32 kartách). Rozměry jedné karty jsou a × a sqrt(2) (šířka a a výška a sqrt(2)). Karty můžeme všelijak skládat na sebe, vedle sebe a přes sebe. Chceme docílit co možná největšího přesahu karet přes hranu stolu. Karty nemůžeme pochopitelně stříhat ani lepit ani ohýbat, protože by se s nimi už nedalo hrát.

Předpokládáme ideální stav, tj. že karty jsou tuhé, neohýbají se vlastní vahou a pod.

Otázka

Jaký největší přesah přes hranu stolu lze zajistit, jestliže položíme a=5 cm?

(od roku 2001)  

Sportka

Součet šesti čísel tažených ve sportce se dlouhodobě pohybuje v poměrně malém intervalu kolem hodnoty 150 (uprostřed mezi 21 = 1+2+3+4+5+6 a 279 = 44+45+46+47+48+49).

Otázky

a) Jaká je pravděpodobnost, že v jednom tahu padnou čísla se součtem 21? b) Jaká je pravděpodobnost, že v jednom tahu padnou čísla se součtem 25? c) Jaká je pravděpodobnost, že v jednom tahu padnou čísla se součtem 150? d) Jaký je obecný vztah pro pravděpodobnost, že v jednom tahu (taženo k čísel z množiny { 1, 2, ..., n }) padnou čísla se součtem s?

(od roku 2001)  

Čtverec na tři díly

Máme dán čtverec o straně a. Tento čtverec máme rozdělit na tři díly o stejném obsahu. Chceme však, aby součet délek dělících čar byl minimální.

Otázka

Jak rozdělit čtverec na tři díly tak, aby součet délek dělících čar byl minimální?

(od roku 2000)  

Konstrukce čtverce

Máme dán čtverec ABCD o straně a a bod M. Bod M má od tří vrcholů A, B, C čtverce ABCD vzdálenost po řadě x, y, z.

Otázky

Jaká je strana čtverce ABCD, jsou-li dány vzdálenosti x, y, z? Jak se zkonstruuje čtverec ABCD, je-li dán bod M a vzdálenosti x, y, z?

(od roku 2000)  

Aktuální úloha

Zkuste vyřešit aktuální úlohy, které stále odolávají dalším řešitelům. Můžete také řešit úlohy z archivu.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970