domovská stránka Petra Kováře
aktuální zajímavé úlohy
archiv zajímavých úloh
tabulka úspěšných řešitelů
Statistický přehled řešení
zadání pěkných úloh, které jsem však ještě neřešil
stránka věnovaná novým úlohám
poslat e-mail
   

32. archiv zajímavých úloh

 listujete v archivu

32.1. Pět pirátů 3 body

Pět pirátů se rozhodlo rozdělit si pytel zlaťáků. Každý z pirátů by rád získal co největší díl kořisti a přemýšleli nad způsobem jak lup rozdělit. Dohodli se na následujícím postupu. V pevně stanoveném pořadí (od nejstaršího) každý pirát navrhne jak rozdělit kořist a potom budou všichni hlasovat. Pokud bude návrh přijat nadpoloviční většinou, kořist si rozdělí. V opačném případě zabijí piráta, který dělení navrhoval a budou pokračovat v dělení kořisti. Piráti mají následující priority (řazeno od nejvyšší po nejnižší)

  1. přežít
  2. získat co největší díl kořisti
  3. zabít co nejvíce ostatních pirátů
Předpokládejme, že piráti své návrhy pečlivě zváží a vždy se budou řídit podle uvedených priorit.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jak proběhne dělení kořisti?

32.2. Číslo 24 II 3 body

Napište číslo 24 pomocí čísel 1, 3, 4 a 6 (každé právě jedenkrát ). Povolené jsou pouze matematické operace +, -, ×, / a závorky.

Poznámka

Při řešení není potřeba využít žádného triku jako jiné číselné soustavy, desetinné tečky, mocniny nebo dokonce více než jednociferná čísla.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jak sestavit číslo 24 pomocí 1, 3, 4 a 6?

32.3. Čtvrtiny čtverce 1 bod

Čtverec rozdělíme na čtyři stejné čtverce. Jeden ze čtverců odstraníme.

 Tři čtvrtiny čtverce.

Úkol

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Tvar, který vznikne, rozdělte na čtyři shodné díly.

32.4. Ovce na pastvě I 1 bod

Když přivážeme ovci k jednomu kolíku provazem, tak vypase v trávě kruh. Pokud protáhneme kroužkem u krku ovce provaz, jehož oba konce přivážeme ke dvěma kolíkům, vypase v trávě elipsu. Budeme-li chtít ovál, tak napneme provaz mezi dva kolíky, na něj navlečeme kroužek a na kroužek přivážeme provaz, na jehož druhém konci je ovce.

Vypasený kruh, elipsa a ovál.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jak přivázat ovci, aby nám vypásla v trávě čtverec?
K dispozici máme kolíky, provazy, kroužky a jednu ovci.

32.5. Tetramino na šachovnici 5 bodů

Máme šachovnici o rozměru n × n políček a naším cílem je zjistit, pro která n umíme pokrýt beze zbytku celou šachovnici dílky předepsaných tvarů. Například dílkem ve tvaru čtverce (2 × 2 políčka) umíme porýt šachovnici o rozměru n × n políček právě když n je sudé.

 Dílek se čtyřmi políčky šachovnice ve tvaru čtverce.

Máme neomezenou zásobu dílků všech tvarů složených ze čtyř políček šachovnice (tzv. tetramino):

  • dílky ve tvaru "I" (o rozměru 4 × 1 políčko šachovnice)
  • dílky ve tvaru "T" (tři políčka v řadě a čtvrté nad prostředním políčkem)
  • dílky ve tvaru "L" (tři políčka v řadě a čtvrté nad krajním políčkem)
  • dílky ve tvaru "S" (dvě políčka v řadě a další dvě posunutá doprava a nahoru)
Nebudeme rozlišovat dílky, které získáme otočením nebo převrácením.

 Dílek se čtyřmi políčky šachovnice ve tvaru I.   Dílek se čtyřmi políčky šachovnice ve tvaru T.
Dílek se čtyřmi políčky šachovnice ve tvaru L.   Dílek se čtyřmi políčky šachovnice ve tvaru S.

Otázky

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení a) Pro která n je možno pokrýt šachovnici o rozměru n × n políček dílkem ve tvaru "I"?
b) Pro která n je možno pokrýt šachovnici o rozměru n × n políček dílkem ve tvaru "T"?
c) Pro která n je možno pokrýt šachovnici o rozměru n × n políček dílkem ve tvaru "L"?
d) Pro která n je možno pokrýt šachovnici o rozměru n × n políček dílkem ve tvaru "S"?
Zjistěte a dokažte, pro která n pokrytí existují a pro která neexistují.

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.


separator
Kontaktní e-mail Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz Aktualizace: 01.01.1970