31. archiv zajímavých úloh

31.1. Polena

Tři hospodyňky připravují tři obědy na společných kamnech. Alice přinesla 5 polen dřeva, Běta přinesla jen 3 polena. Cecilka nepřinesla žádné dřevo, ale dala Alici a Bětě 8 korun, ať si je rozdělí.
Můžeme předpokládat, že všechny hospodyňky spotřebovaly stejné množství tepelné energie. Proto bude spravedlivé, když všechny hospodyňky budou mít stejné náklady.

Otázka

Jak si Alice a Běta rozdělí 8 korun, aby dělení bylo spravedlivé?

Zkouška

31.2. Nekonečně mnoho drobných

Na stole s nekonečně velkou plochou leží nekonečně mnoho mincí. Víme, že všechny jsou otočeny lícem vzhůru, jen 30 mincí je otočeno lícem dolů. Kryšpín má zavázané oči a na rukou má tlusté rukavice. Jestliže se Kryšpínovi podaří podaří během jednoho dne rozdělit mince na dvě hromádky tak, aby na každé hromádce bylo stejné množství mincí otočených lícem dolů, zvítězí a všechny mince na stole budou jeho.

Kryšpín může každou minci posunout nebo i otočit, avšak nikdy nepozná jestli je mince lícem vzhůru či dolů, protože má zavázané oči a na rukou má hrubé rukavice.

Otázka

Jak má Kryšpín postupovat, aby všechny mince získal?

31.3. Příliš mnoho řešení

Je známo, že kvadratická rovnice má dvě, jedno nebo žádné reálné řešení. Podívejme se na rovnici v proměnné x, kde a, b a c jsou konstanty:

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že a < b < c. Nyní si všimněte, že x = a, x = b a také x = c jsou řešením dané rovnice.

Otázka

Jak může mít uvedená kvadratická rovnice v proměnné x tři řešení?

31.4. Prvočísla jako rozdíl čtverců

Úkol

Ukažte, že pro každé prvočíslo p různé od 2 je možno najít dvě přirozená čísla a a b tak, aby se p rovnalo rozdílu jejich druhých mocnin.

31.5. Otrávené víno

Policejní komisař vyšetřoval případ otrávené láhve vína ve vinném sklepě. Bylo zjištěno, že ve sklepě je něco mezi 100 až 200 lahvemi vína, z nichž jedna obsahuje otrávené víno. V laboratoři mohou zjistit přítomnost i malého množství jedu ve směsi z několika láhví vína. Avšak protože provedení jednoho testu je poměrně drahé a také protože by majitel sklepa rád zachránil co nejvíce neotráveného vína, najali matematika, ať jim poradí. Úkolem bylo najít láhev s otráveným vínem co nejmenším počtem testů. Matematik poprosil komisaře, aby pro první test vybral skleničku vína z jedné libovolné láhve.

"Nebudou to vyhozené peníze za test jediné skleničky?", zeptal se komisař.

"Nebudou", odpověděl matematik, "navíc si myslím, že můžeme trochu zariskovat."

Otázka

Kolik bylo ve sklepě lahví vína?

Zkouška

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970