Předmět: 470-4302/01: Teorie grafů   (TG)
Garant: Petr Kovář
Rozsah: 6 kreditů (2/2/0/0/2)
Akademický rok: 2017/2018

Osnova předmětu je v systému Edison.

Průběh cvičení

Během semestru studenti odevzdají zápočtový projekt (maximálně za 20 bodů). Zápočet dostanou ti studenti, kteří získají alespoň 10 bodů.

Příklady k procvičení

Příklad k procvičení najdete v učebním textu, který najdete v seznamu literatury. Obsah souborů se průběžně aktualizuje.
Na zkoušku vybírám příklady vždy z učebního textu (z platné verze ke konci semestru). Pokud najdete v textu chyby, dejte mi, prosím, vědět.

Projekty   (20 bodů)

Můžete se podívat na seznam projektů z let 2007/2008, 2008/2009, 2009/2010, 2010/2011, 2011/2012, 2012/2013, 2013/2014, 2015/2016 a 2016/2017 nebo na vzorový projekt ve formátu pdf: tg_vzorovy_projekt.pdf.

1. Barvení grafů s úplným párováním   Najděte nekonečnou třídu grafů třídy 1 takových, že žádný graf G z této třídy, ve kterém nejsou při žádném jeho dobrém Δ(G)-barvení obarveny hrany nějakého úplného párování stejnou barvou. Tj. žádná jeho barevná třída nemůže být úplným párováním, aniž by se použilo více než Δ(G) barev. Ukažte, že grafy mají požadované vlastnosti. Pokud takový graf neexistuje, dokažte to.
2. Orientace rovinného grafu   Ukažte, že každý rovinný graf je možno zorientovat tak, že nejvyšší odchozí stupeň vrcholů v grafu je nejvýše 3.
3. Vrcholová a hranová souvislost pravidelných grafů   Ukažte, že v~každém 1-, 2- a 3-pravidelném grafu je vrcholová souvislost rovna hranové souvislosti. Ukažte, že pro r-pravidelné grafy, kde r≥4, vrcholová souvislost může být odlišná od hranové souvislosti.
4. Periferie grafu I   Periferie grafu G je podgraf grafu G indukovaný na vrcholech s největší excentricitou. Ne každý graf může být periferií nějakého grafu. Najděte nekonečnou třídu souvislých grafů, které jsou periferií nějakého grafu. Dokažte, že výsledné grafy mají požadované vlastnosti.
5. Periferie grafu II   Periferie grafu G je podgraf grafu G indukovaný na vrcholech s největší excentricitou. Ne každý graf může být periferií nějakého grafu. Najděte nekonečnou třídu grafů, které nemohou být periferií žádného grafu a dokažte to.
6. Grafy s malým diametrem   Mějme graf G s průměrem 2, nejvyšším stupněm n-2 a alespoň čtyřmi vrcholy. Dokažte, že graf G má alespoň 2n-4 hran.
7. Chromatické číslo sjednocení grafů   Dokažte nebo vyvraťte: Mějme dva souvislé grafy G a H, potom χ(G ∪ H) ≤ χ(G) + χ(H).
8. Téma dle dohody

Termín odevzdání projektů je pondělí 7.5.2018.

Témata, která jsou už zadaná, jsou šedá. Očekává se, že projekty budou vypracovány na úrovni, která odpovídá studentům magisterského nebo doktorského studia. Nezapomeňte na správné citace použitých zdrojů. Případná různá obtížnost témat bude kompenzována mírou, jak přísně budou projekty hodnoceny.

Literatura

• P. Kovář, Teorie grafů, učební text, (2016).
• pdf pro tisk: text základní (skriptum_teorie_grafu_tisk.pdf) a rozšířený (skriptum_teorie_grafu_rozsirene_tisk.pdf)
• pdf pro čtení na obrazovce - s aktivními linky: text základní (skriptum_teorie_grafu.pdf) a rozšířený (skriptum_teorie_grafu_rozsirene.pdf)
• pdf vhodný pro čtečky (bez okrajů): text základní (skriptum_teorie_grafu_kindle.pdf) a rozšířený (skriptum_teorie_grafu_rozsirene_kindle.pdf)
• J. Matoušek, J. Nešetřil, Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum Praha (2000), ISBN 80-246-0084-6.
• D. Fronček, Úvod do teorie grafů, Slezská univerzita Opava, (1999), ISBN 80-7248-044-8.
• D.B. West, Introduction to graph theory - 2nd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ, (2001), ISBN 0-13-014400-2.

Je možné používat i jiné úvodní knihy a skripta, ovšem pozor: některé detaily se mohou lišit! (zejména definice pojmů) a u zkoušky platí to, co bylo probráno na přednášce.

Animace

Pro lepší pochopení vybraných pojmů můžete při studiu využít následující animace.

• k důkaz Cayleyho věty
• k důkazu Eulerovy věty
• ukázka konstrukce eulerova tahu
• excentricita vrcholů grafu
• k důkazu Hallovy věty
• konstrukce hyperkrychle
• hledání isomorfismu grafů
• k důkazu existence krále turnaje
• ukázky uložení struktury grafu v počítači
• k rozdílu diametrické a nejdelší v grafu
• ukázky sledu, tahu a cesty v grafu
• vztah mezi vrcholovou a hranovou souvislostí grafu