MA 1 - videa

(Videa se spustí kliknutím na modrou část zadání.)

Diferenciální počet

01. Definiční obory
  1. Určete definiční obor funkce dané předpisem \(f(x):=\frac{\sqrt{x^2-x-6}}{1-\sqrt{x+4}}\).

  2. Určete definiční obor funkce dané předpisem \(f(x):=\ln \left( 3+\frac{x}{x-1} \right) \).

  3. Určete definiční obor funkce dané předpisem \(f(x):=\arccos \left( x^2+x-1 \right) \).

  4. Určete definiční obory funkcí daných předpisy:
    a) \(f(x):= \ln \left( \arcsin x \right) \),
    b) \(g(x):= \arcsin \left( \ln x \right) \).

  5. Určete definiční obory funkcí daných předpisy:
    a) \(f(x):= \sqrt[3]{1-2\sin x} \),
    b) \(g(x):= \sqrt[4]{1-2\sin x} \).

02. Inverzní funkce
  1. Rozhodněte, zda existuje \(f^{-1}\), je-li \( D(f)=(-\infty,-1\rangle, \;\, f(x):=x^2 \).

  2. Najděte (existuje-li) \(f^{-1}\), je-li \( D(f)=(-1,0\rangle, \;\, f(x):=\sqrt{3-x^2} \).

  3. Určete hodnoty cyklometrických funkcí
    a) \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \),
    b) \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \),
    c) \( \mathrm{arctg}\, 1 \),
    d) \( \mathrm{arccotg}\, \sqrt{3} \).

  4. Řešte v \(\mathbb{R}\) rovnici \( \cos x = -\frac{2}{5} \).

  5. Řešte v \(\mathbb{R}\) nerovnici \( \mathrm{tg}\, x \leq 5 \).

03. Limita posloupnosti
  1. Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:
    a) \( a_n:=\frac{-5+2n}{23+\frac{5}{n^2}} \),
    b) \( a_n:=\frac{-5+2n}{3n+15} \).

  2. Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:
    a) \( a_n:=\frac{n^2+3n+6}{2n^2+2n+17} \),
    b) \( a_n:=\frac{3n^2-6n+3}{2n+1} \),
    c) \( a_n:=\frac{2n^2+3n-4}{5n^3-2n^2+3n+2} \).

  3. Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:
    a) \( a_n:=2n^2-3n+5 \),
    b) \( a_n:=\sqrt{4n^2-2n}-\sqrt{n^2+3n} \),
    c) \( a_n:=\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+3n} \).

  4. Vypočtěte limity posloupností:
    a) \( a_n:=\frac{2^n+3^n-5^n}{6\cdot 5^n-3\cdot 2^n} \),
    b) \( a_n:=\frac{3^n+15^n-2}{5^{n+2}+3^{3n}} \).

  5. Vypočtěte limity posloupností:
    a) \( a_n:=\frac{\sin\left( n^4+5^n-n! \right)}{n} \),
    b) \( a_n:=\frac{\sin\left( n-4^n+\ln(-n) \right)}{n} \).

  6. Vypočtěte limity posloupností:
    a) \( a_n:=\left( \frac{3n+1}{3n} \right)^n \),
    b) \( a_n:=\left( \frac{3n+1}{5n} \right)^n \),
    c) \( a_n:=\left( \frac{5n+1}{3n} \right)^n \).

  7. Vypočtěte limitu posloupnosti:
    \( a_n:=\sqrt[n]{2n^3+3n^2-4n-1} \).

04. Derivace funkce
  1. Určete derivaci funkce \( f(x):=\ln (\ln x) \).

  2. Určete derivaci funkce \( f(x):=\frac{x^2\cos x}{x^3+1} \).

  3. Určete derivaci funkce \( f(x):=x^2 \sin(x^3+x^2) \).

  4. Určete derivaci funkce \( f(x):=\left(1+x^2\right)^x \).

05. Limita a spojitost funkce
  1. Vypočtěte limity:
    a) \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3x+2}{x^2+2x+15} \),
    b) \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2-3x+2}{x^3-15x^2+24} \).

  2. Vypočtěte limitu \( \lim\limits_{x \to \frac{3}{2}\pi} \frac{\sin x \cos x}{x-\frac{3}{2}\pi} \).

  3. Vypočtěte limitu \( \lim\limits_{x \to \pi} \frac{\sin^2 x}{(x-\pi)^2} \).

  4. Vypočtěte limity:
    a) \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{\sin x}{x} \),
    b) \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} \).

  5. Vypočtěte limitu \( \lim\limits_{x \to 1+} \frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}} \).

  6. Vypočtěte limitu \( \lim\limits_{x \to 0+} \left( x^2 \ln x \right) \).

  7. Vypočtěte limitu \( \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x \).

  8. Rozhodněte, zda je funkce
    \( f(x):= \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0, \\ 0, \qquad\quad\;\;\; x=0 \end{cases} \)
    spojitá v bodě \(0\).

06. Intervaly ryzí monotonie
  1. Určete intervaly ryzí monotonie funkce \( f(x):= (3x+2)\mathrm{e}^x \).

  2. Určete intervaly ryzí monotonie funkce \( f(x):= x^2-2x-4\ln x \).

  3. Určete intervaly ryzí monotonie funkce \( f(x):= \frac{x}{9}+\frac{1}{x} \).

  4. Určete intervaly ryzí monotonie funkce \( f(x):= |x^3|+2x^2-x+1 \).

07. Lokální extrémy funkce
  1. Najděte všechny lokální extrémy funkce \( f(x):= x^4-4x^3+7 \).

  2. Najděte všechny lokální extrémy funkce \( f(x):= \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \).

  3. Najděte všechny lokální extrémy funkce \( f(x):= x+\sqrt{1-x} \).

  4. Najděte všechny lokální extrémy funkcí:
    a) \( f(x):= \sqrt{(x-1)^2} \),
    b) \( f(x):= \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2}, \quad x \neq 1, \\ 1, \qquad \qquad \quad x=1. \end{cases}\)

08. Globální extrémy funkce
  1. Najděte globální extrémy funkce \( f(x):= 2x^3+3x^2-12x+5 \)
    na intervalu \( \langle -1,2 \rangle \).

  2. Najděte globální extrémy funkce \( f(x):= x+\sqrt{1-x^2} \)
    na intervalu \( \langle -1,1 \rangle \).

  3. Najděte globální extrémy funkce \( f(x):= \mathrm{arctg} \left( \ln (1-x^2) \right) \)
    na množině \( D(f) \).

  4. Ze všech válců s objemem \( V>0 \) vyberte ten, který má
    nejmenší povrch.

09. Konvexita, konkávnost a inflexní body funkce
  1. Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce \( f(x):= 4\ln (1-x)-9\ln x \).

  2. Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce \( f(x):= \mathrm{arctg} \, \frac{1}{x} \).

  3. Najděte inflexní body funkce \( f(x):= x^5-10x^4+30x^3+7x+1 \).

  4. Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce \( f(x):= \left| \mathrm{e}^x-1 \right| \).

10. Asymptoty (grafu) funkce
  1. Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce \( f(x):= x \, \mathrm{arctg}\,x \).

  2. Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce \( f(x):= \frac{2x^3+3x^2-5}{x^2-1} \).

  3. Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce \( f(x):= \sqrt{x^2+4x+5} \).

  4. Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce \( f(x):= \frac{x}{\sin x} \).

11. Taylorův polynom
  1. Určete Taylorův polynom 3. řádu funkce \( f(x):= x^2+8\sqrt{x} \)
    v bodě \( x_0=1 \).

  2. Určete rovnici tečny grafu funkce \( f(x):= \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} \)
    sestrojené v bodě \( (2,1) \).

  3. Najděte všechny tečny grafu funkce \( f(x):= (3x-1)^3 \), které jsou rovnoběžné s přímkou \( y=9x+3 \).

  4. Rozviňte polynom \( f(x):= x^3-2x^2+3x+2 \) podle mocnin \( (x-1) \).

Integrální počet

12. Primitivní funkce - neurčité integrály
  1. Vypočtěte integrál \( \int \frac{2x^2+\sqrt{x}+3\sqrt[6]{x}-12}{\sqrt[3]{x}} \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrál \( \int \mathrm{cotg}^2\, x \, \mathrm{d}x \).

  3. Rozhodněte, které z rovností jsou (na \( \mathbb{R} \)) pravdivé:
    a) \( \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = \sin^2 x \),
    b) \( \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = \cos^2 x \),
    c) \( \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\cos 2x \),
    d) \( \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = 2\sin^2 x + \cos^2 x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int |x-3| \, \mathrm{d}x \,\) na \( \mathbb{R} \).

13. Neurčité integrály - per partes
  1. Vypočtěte integrál \( \int (2x+1)\sin x \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrál \( \int x \, \mathrm{arctg}\,x \, \mathrm{d}x \).

  3. Vypočtěte integrál \( \int \ln^2 x \, \mathrm{d}x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x \).

  5. Vypočtěte integrál \( \int \mathrm{e}^x \sin x \, \mathrm{d}x \).

14. Neurčité integrály - substituce
  1. Vypočtěte integrál \( \int \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrál \( \int \sin (2x+\sqrt{3}) \, \mathrm{d}x \).

  3. Vypočtěte integrál \( \int \mathrm{tg}\,x \, \mathrm{d}x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int \frac{1}{\sqrt{\big(1-x^2\big)^3}} \, \mathrm{d}x \) pomocí substituce \( x=\sin t \).

  5. Vypočtěte integrál \( \int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}} \, \mathrm{d}x \) pomocí substituce \( x=\sin^2 t \).

15. Neurčité integrály - rozklady na parciální zlomky
  1. Vypočtěte integrál \( \int \frac{5x-7}{x^2-2x-3} \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrál \( \int \frac{5x+1}{(x+2)(x-1)^2} \, \mathrm{d}x \).

  3. Vypočtěte integrál \( \int \frac{2x^2+x-16}{(x-3)(x+2)} \, \mathrm{d}x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+1)(x-1)} \, \mathrm{d}x \).

  5. Vypočtěte integrál \( \int \frac{5x+1}{x^2-4x+7} \, \mathrm{d}x \).

  6. Vypočtěte integrál \( \int \frac{x-3}{(x^2+2x+5)(x+2)} \, \mathrm{d}x \).

  7. Vypočtěte integrály:
    a) \( \int \frac{x^3}{x^4-1} \, \mathrm{d}x \),
    b) \( \int \frac{2x^2+3}{(x-1)^3} \, \mathrm{d}x \).

16. Neurčité integrály - integrace speciálních typů funkcí
  1. Vypočtěte integrál \( \int \sin^3 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrál \( \int \sin^4 x \, \mathrm{d}x \).

  3. Vypočtěte integrál \( \int \mathrm{cotg}^3 \, x \, \mathrm{d}x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int \frac{\mathrm{d}x}{x \sqrt{\frac{1-x}{x}}} \).

  5. Vypočtěte integrál \( \int \frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt[3]{x}+1\right)} \, \mathrm{d}x \).

17. Určité integrály
  1. Vypočtěte integrál \( \int_0^{\pi} (x^2-x+1)\sin x \, \mathrm{d}x \).

  2. Vypočtěte integrály:
    a) \( \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \ln x \, \mathrm{d}x \),
    b) \( \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} |\ln x| \, \mathrm{d}x \).

  3. Vypočtěte integrál \( \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} \, \mathrm{d}x \).

  4. Vypočtěte integrál \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, \mathrm{d}x \).

  5. Vypočtěte integrál \( \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \, \mathrm{d}x \) pomocí substituce \(x=\sin t\).

18. Aplikace určitých integrálů
  1. Vypočtěte obsah kruhu s poloměrem \(1\).

  2. Vypočtěte obsah rovinného obrazce \( M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \, 0 \leq x \leq \pi \, \wedge \, 1 \leq y \leq 2\sin x \} \).

  3. Vypočtěte objem koule s poloměrem \(r>0\).

  4. Vypočtěte délku křivky \( k=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \, x \in \langle 4,8 \rangle \, \wedge \, y=\sqrt{x^3} \} \).