5. Základní typy rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny


Průvodce studiem
V teto kapitole se seznámíte se základními typy rozložení spojité náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být pouze základní pasivní znalost a orientace v rozloženích, ale měli byste se také naučit tato rozložení od sebe rozlišovat a bezpečně je rozpoznávat.
Předpokládané znalosti
Pojmy z kombinatoriky, z počtu pravděpodobnosti, derivace, integrál.
Cíle
Cílem této kapitoly je seznámení se základními typy rozložení spojité náhodné veličiny, odvození jejich základních číselných charakteristik.


Výklad

5.1. Rovnoměrné rozdělení R(ab)

Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina X, jejíž realizace vyplňují interval konečné délky a mají stejnou možnost výskytu (např. doba čekání na autobus, na výrobek u automatické linky, ...).

Definice 5.1.1.
Náhodná veličina Xrovnoměrné rozdělení R(a,b) právě tehdy, když je hustota pravděpodobnosti určena vztahem:

Graf hustoty pravděpodobnosti:


Distribuční funkce je ve tvaru:


Poznámka
Vyjádření distribuční funkce lze snadno odvodit ze základní vlastnosti distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti:

Tudíž:


Graf distribuční funkce:


Vlastnosti: Tyto vlastnosti můžeme opět velmi jednoduše odvodit:


Řešené úlohy
Příklad 5.1.1.    Tramvajová linka číslo 8 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 10 minut. Vypočtěte pravděpodobnost, že na ni budete dopoledne čekat déle než 7 minut.
Řešení:    Doba čekání je náhodná veličina X, která má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti - v našem případě R(0,10). Distribuční funkce má tedy tvar:

Hledaná pravděpodobnost:


5.2. Exponenciální rozdělení E(l)
Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina X, která představuje dobu čekání do nastoupení (poissonovského) náhodného jevu, nebo délku intervalu (časového nebo délkového) mezi takovými dvěma jevy (např. doba čekání na obsluhu, vzdálenost mezi dvěma poškozenými místy na silnici).
Závisí na parametru l, což je převrácená hodnota střední hodnoty doby čekání do nastoupení sledovaného jevu.

Definice 5.2.1.
Náhodná veličina Xexponenciální rozdělení E(l) právě tehdy, když je hustota pravděpodobnosti dána vztahem:

Graf hustoty pravděpodobnosti:


Distribuční funkce:


Graf distribuční funkce:


Vlastnosti:

Poznámka
Tvar distribuční funkce, stejně jako vlastnosti exponenciálního rozdělení, lze odvodit obdobně jednoduchým způsobem, jako u rovnoměrného rozdělení.

Řešené úlohy
Příklad 5.2.1.    Doba čekání hosta na pivo je v restauraci U Lva průměrně 5 minut. Určete:
a) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny, která je dána dobou čekání na pivo
b) pravděpodobnost, že budeme čekat na pivo déle než 12 minut
c) dobu čekání, během které bude zákazník obsloužen s pravděpodobností 0,9
Řešení:    Jedná se tedy o exponenciální rozložení pravděpodobnosti:
a) Hustota pravděpodobnosti:

b) Distribuční funkce:

Hledaná pravděpodobnost:

c) Hledanou dobu čekání označíme t. Platí:


5.3. Normální rozdělení N(m, s2)
Označováno též obecné normální rozdělení či Gaussovo rozdělení (v anglicky psané literatuře nazývané rozdělení zvonovitého tvaru - bell curve).
Je velmi důležité, neboť:

Definice 5.3.1.
Náhodná veličina Xnormální rozdělení N(m,s2) právě tehdy, když má hustota pravděpodobnosti tvar:

Grafem hustoty pravděpodobnosti je tzv. Gaussova (Gaussova-Laplaceova) křivka:


Z obrázku je patrné, že parametr m (střední hodnota) určuje, kde má křivka maximum. Parametr s (směrodatná odchylka) naproti tomu určuje, jak jsou po obou stranách od hodnoty m vzdáleny inflexní body, tedy jak je křivka roztažena do šířky.

Distribuční funkce:


Graf distribuční funkce:


Poznámka
Pomocí křivky normálního rozdělení popsal v roce 1773 matematik Abraham de Moivre limitní chování binomického rozdělení, když se snažil aproximovat výpočty jednotlivých pravděpodobností binomického rozdělení pro velká n. Rozdělení, které Moivre pro tento účel navrhl, se nakonec ukázalo být důležitější než výchozí binomické rozdělení. V roce 1812 odvodil nezávisle na Moivreovi normální rozdělení francouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezentovali toto rozdělení jako zákon chyb a používali ho pro interpretaci astronomických a geodetických měření, výsledků hazardních her a přesnosti dělostřelecké střelby.

Řešené úlohy
Příklad 5.3.1.    Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(10, 9), nabude hodnoty
a) menší než 16,
b) větší než 10,
c) v mezích od 7 do 22?
Řešení:   
a)

Zjistit, čemu je rovna distribuční funkce pro hodnotu 16 můžeme několika způsoby. V příští kapitole si ukážeme, že náhodnou veličinu můžeme převést na normované normální rozdělení N(0, 1), jehož hodnoty jsou v tabulkách. Máme-li ale k dispozici např. program Excel, můžeme hodnotu vypočíst pomocí předdefinované funkce NORMDIST:
P(X < 16) = F{16) = NORMDIST(16;10;3;1) = 0,97725
První parametr v závorce je hodnota, jejíž distribuční funkci počítáme, druhý je střední hodnota daného normálního rozdělení, třetí parametr je směrodatná odchylka daného rozdělení a poslední parametr je pravdivostní hodnota 1, kterou zadáme vždy, když chceme vypočítat hodnotu distribuční funkce.
b) P(X > 10) = P(10 < X < ∞) = 1 - F(10) =1 - NORMDIST(10;10;3;1) = 0,5
c)  P(7 < X < 22) = NORMDIST(22;10;3;1) - NORMDIST(7;10;3;1) = 0,8413


5.4. Normované normální rozdělení N(0, 1)
Jedná se o speciální případ obecného normálního rozložení, kdy m = 0, s2 = 1.
V tomto případě označujeme hustotu pravděpodobnosti:


Distribuční funkci u tohoto rozdělení označujeme:


Graf hustoty pravděpodobnosti:


Graf distribuční funkce:


Užitečnost normovaného normálního rozdělení spočívá v tom, že vybrané hodnoty distribuční funkce tohoto rozdělení najdeme v tabulkách, které bývají součástí každé učebnice statistiky. Vztah mezi normovaným normálním rozdělením N(0,1) a obecným normálním rozdělením N(m, s2) vyjadřuje následující věta:

Věta 5.4.1.
Má-li spojitá náhodná veličina X obecné normální rozdělení N(m, s2) s hustotou pravděpodobnosti:
,
pak náhodná veličina má normované normální rozdělení N(0,1) s hustotou pravděpodobnosti:
Důkaz:    Zavedeme-li do vztahu:
substituci:
, dostáváme:
, kde


Poznámka
V tabulkách nalezneme pouze hodnoty distribuční funkce pro nezáporné t. Chceme-li určit distribuční funkci pro t < 0, využijeme vlastností distribuční funkce normovaného normálního rozdělení a můžeme lehce odvodit, že F(-t) = 1 - F(t)

Řešené úlohy
Příklad 5.4.1.    Použijeme zadání příkladu 5.3.1., přičemž tento příklad vyřešíme převedením daného normálního rozdělení N(10, 9) na normované normální rozdělení N(0, 1) substitucí z předchozí věty 5.4.1.
Řešení:   
a)
.
b) P(X > 10) = P(10 < X < ∞) = 1 - F(10) =1 - F(0) = 0,5
c)  P(7 < X < 22) = F(4) - F(-1) = = F(4) - 1 + F(1) = 0,8413
Všechny hodnoty jsou dosazené z tabulky distribuční funkce normálního rozdělení.

Příklad 5.4.2.    Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(m, s2) nabude hodnot z intervalu
a) (m-s,m+s)
b) (m-2s,m+2s)
c) (m-3s,m+3s)
Řešení:   
a)


Grafické znázornění:

b)

c)

Poznámka
Výsledek příkladu 5.4.2c. je znám pod názvem pravidlo 3s. Vyjadřuje skutečnost, že náhodná veličina s obecným normálním rozdělením N(m, s2) nabude hodnot z intervalu (m-3s,m+3s) s pravděpodobností 97,7 %.


5.4.1. Aproximace binomického rozdělení
U binomického rozdělení může být pro velká n obtížný výpočet kombinačních čísel.
Jak už bylo řečeno, binomické rozdělení lze aproximovat Poissonovým a to v případě, že p < 0,3 nebo p > 0,7:

Bi(np) Po(l), kde l = n.p

Jestliže :

Bi(np) N(m, s2), kde m = n.p, s2 = n.p(1 - p)


Řešené úlohy
Příklad 5.4.3.    Házíme 100 krát mincí. Jaká je pravděpodobnost, že lev padne aspoň 50 krát?
Řešení:    X...počet padnutí lva
Náhodná veličina X má binomické rozdělení, neboť házení mincí jsou opakované pokusy - nezávislé. Problém při řešení tohoto příkladu může nastat ve chvíli, kdy nemáme k dispozici žádný software, který by dokázal počítat hodnoty binomického rozdělení - museli bychom tedy ručně sčítat 51 hodnot pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení mezi 50 a 100.
Máme-li k dispozici alespoň statistické tabulky, můžeme řešit pomocí normálního rozdělení: N(m, s2), kde:
m = n.p = 50
s2 = n.p.(1 - p) = 25
Takže:
P(X = 50 v 51 v 52 v ... v100) = 1 - P(X < 50) = 1 - F(50) = 1 - F(0) = 0,5


 Ověřte si své znalosti a navštivte stránku s neřešenými úlohami


5.5. Některá další rozdělení

5.5.1. Weibullovo rozdělení W(dc)
Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina, která představuje dobu života (bezporuchovosti) technických zařízení, kterým nevyhovuje exponenciální. To jest tam, kde se projevuje mechanické opotřebení nebo únava materiálu.
Parametr d závisí na materiálu, namáhání a podmínkách užívání (d > 0); c > 0.

Funkce hustoty pravděpodobnosti:
(pro c = 1 dostaneme exponenciální rozdělení E(d))

Grafické znázornění hustoty pravděpodobnosti pro d = 1 a různé hodnoty c:

Distribuční funkce:


Grafické znázornění distribuční funkce pro d = 1 a různé hodnoty c:



5.5.2. Pearsonovo rozdělení cn2
cn2 ... čteme chí kvadrát s n stupni volnosti
Užití: Jestliže n nezávislých veličin X1,..., Xn má rozdělení N(0, 1), pak veličina X=X12+X22+...+Xn2 má Pearsonovo rozdělení.
Hustota pravděpodobnosti:

G(x)...gama funkce definovaná pro x > 1 vztahem:


5.5.3. Studentovo rozdělení tn
Užití: Jsou-li X1,X2 dvě nezávislé náhodné proměnné, kde X1 se řídí rozložením N(0, 1) a X2 rozložením cn2, pak náhodná veličina má Studentovo rozložení s n stupni volnosti.