Náhodná veličina

3. Náhodná veličina

Průvodce studiem

V předchozích kapitolách jste se seznámili s kombinatorikou a pravděpodobností jevů. Tyto znalosti použijeme v této kapitole, zavedeme pojem náhodná veličina, funkce, které náhodnou veličinu popisují, a číselné charakteristiky náhodné veličiny.

Předpokládané znalosti

Pojmy z pravděpodobnosti, derivace, integrál.

Cíle

Cílem této kapitoly je objasnit pojmy náhodná veličina, pravděpodobnostní funkce, hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, koeficient šikmosti, koeficient špičatosti, p-kvantil, medián, modus.

Výklad

3.1. Náhodná veličina

Výsledky některých pokusů (elementární jevy) jsou přímo vyjádřeny číselně (padne 1), u jiných tomu tak není (padne líc). Také u těchto pokusů je účelné přiřadit elementárním jevům čísla.

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Definice 3.1.1.
Náhodná veličina X je reálná funkce definovaná na množině všech elementárních jevů, která každému jevu přiřadí reálné číslo.

Např.:
Hod mincí

Podle oboru hodnot M rozdělujeme náhodné veličiny na:

diskrétní . . . obor hodnot M je konečná nebo nekonečná posloupnost
spojité . . . obor hodnot M je otevřený nebo uzavřený interval

3.2. Diskrétní náhodná veličina

3.2.1. Pravděpodobnostní funkce

Nechť X je diskrétní náhodná veličina s oborem možných hodnot {x₁, x₂, ..., x_n}, která tyto hodnoty nabývá s pravděpodobností {p₁, p₂, ..., p_n}.
Údaje sestavíme do tabulky:

x_i x₁ x₂ ... x_n

p_i p₁ p₂ ... p_n

Každé hodnotě x_i je přiřazena právě jedna hodnota p_i a pravděpodobnostní tabulku lze tedy chápat jako tabulkové určení funkce, kterou nazýváme pravděpodobnostní funkcí.

x_i	x₁	x₂	...	x_n
p_i	p₁	p₂	...	p_n

Definice 3.2.1.
Pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X nazýváme funkci p(x) = P(X = x)

Poznámka
Funkční hodnota v x_i představuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnotu x_i.

Vlastnosti pravděpodobnostní funkce:
a) p(x_i) ≥ 0
b)

= 1

Poznámka
První vlastnost plyne přímo z definice pravděpodobnostní funkce. Druhé tvrzení plyne z toho, že náhodné veličině X je přiřazeno číslo x_i právě tehdy, když nastane jev s hodnotou x_i (stručněji jev X_i). Přitom jevy X₁, X₂, ..., X_n tvoří úplnou skupinu vzájemně disjunktních jevů, protože v jednom pokusu nabývá náhodná veličina X právě jedné hodnoty z oboru M. Sečteme-li všechny možné výsledky pokusu, dostáváme jev jistý I s pravděpodobností P(I) = 1.

3.2.2. Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny

Často nás nezajímá jen pravděpodobnost toho, že X nabude určitou hodnotu x_i, ale potřebujeme určit pravděpodobnost, se kterou X nabude hodnoty menší než jistá mez:

Definice 3.2.2.
Reálná funkce, která přiřazuje každé hodnotě x_i náhodné veličiny X pravděpodobnost, že X nabude hodnoty menší než toto x_i, se nazývá distribuční funkce F(x). Je definována vztahem:
F(x) = P(X < x) =

Poznámka
Vlastnosti distribuční funkce budou souhrnně popsány u spojité náhodné veličiny.

Řešené úlohy

Příklad 3.2.1. Hod kostkou.

Řešení: Náhodná veličina X je definována na množině elementárních jevů: padne 1, padne 2, ..., padne 6. Obor hodnot M jsou reálná čísla {1,2,...,6} přiřazená elementárním jevům E₁, E₂, ..., E₆ s pravděpodobností {p₁, p₂, ..., p₆}, kde p_i =

.
Pravděpodobnostní funkce p(x) = P(X = x) =

Příklad 3.2.2. V osudí je 5 bílých a 7 červených míčků. Náhodná veličina X představuje počet bílých míčků mezi pěti vybranými. Vytvořte pravděpodobnostní a distribuční funkci této náhodné veličiny.

Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot {0,1,2,3,4,5}.
Z teorie pravděpodobnosti víme, že se jedná o opakované závislé pokusy. Můžeme tedy sestavit pravděpodobnostní funkci:

Dosazením do pravděpodobnostní funkce vytvoříme pravděpodobnostní tabulku:

x_i	0	1	2	3	4	5
p_i

Např.

Možnosti grafického znázornění:
Bodový graf:

Úsečkový diagram:

Histogram:

Tabulka pro distribuční funkci:

x_i	0	1	2	3	4	5	6
p_i
F(x_i)	0						1

Graf:

3.3. Spojitá náhodná veličina

Také u spojité náhodné veličiny se užívá k jejímu popisu distribuční funkce F(x) definované stejně jako u diskrétní náhodné veličiny vztahem:
F(x_i) = P(X < x_i)

Vlastnosti F(x) (společné pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu):

0 ≤ F(x) ≤ 1
P(x₁ ≤ X < x₂) = F(x₂) - F(x₁) pro x₁ < x₂
F(x) je neklesající funkce
F(- ∞) = 0, F(∞) = 1
F(x) je zleva spojitá v bodech x = x_i, i = 1,2,..., diskrétní náhodné veličiny a spojitá v ostatních bodech.

Vztah 2. je možné zapsat také: P(x ≤ X < x + h) = F(x + h) - F(x).
Pro h → 0 levá strana → P(X = x) a pravá → 0 (tedy P(X = x) = 0).
Proto nemá smysl definovat pro spojitou náhodnou veličinu pravděpodobnostní funkci p(x) = P(X = x). Zavádíme tedy jinou funkci, která se nazývá hustota pravděpodobnosti:

Definice 3.3.1.
Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X definované na intervalu

je nezáporná, reálná funkce definovaná vztahem:

,
kde pro x

je f(x) = 0; x, x+h

Vlastnosti f(x) a F(x) spojité náhodné veličiny

pro x R platí: f(x) ≥ 0
(obecně ); a, b jsou krajní meze intervalu, ve kterém je f(x) různá od nuly)
f(x) = F^'(x) (F(x) je primitivní funkcí f(x))
F(x) = P(X < x) = resp. =
P(x₁ ≤ X < x₂) = F(x₂) - F(x₁) =

Řešené úlohy

Příklad 3.3.1. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí:

Určete f(x), znázorněte graficky F(x), f(x), vypočtěte P(0,4 ≤ X < 1,6)

Řešení: Hustotu pravděpodobnosti získáme zderivováním distribuční funkce:

Graf distribuční funkce:

Graf hustoty pravděpodobnosti:

P(0,4 ≤ X < 1,6) = F(1,6) - F(0,4) = 0,64 - 0,04 = 0,6

Příklad 3.3.2. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar:

Určete koeficient a, distribuční funkci F(x) a

Řešení: Nejdříve určíme koeficient a:

F(x) je primitivní funkcí f(x). Jestliže integrujeme f(x), obdržíme:

Hodnoty konstant C₁, C₃ zjistíme z okrajových podmínek distribuční funkce: F(- ∞) = 0, F(∞) = 1. Takže C₁ = 0, C₃ = 1.
Pro vypočtení konstanty C₂ využijeme spojitosti distribuční funkce. Víme, že:

Distribuční funkce má tedy tvar:

Výpočet hledané pravděpodobnosti:

Příklad 3.3.3. Určete konstanty A, B tak, aby funkce F(x) = A + B.arctanx, definovaná pro všechna reálná čísla, byla distribuční funkcí rozložení náhodné veličiny.

Řešení:

Poznámka
Rozdělení určené distribuční funkcí z předchozího příkladu se nazývá Cauchyho rozdělení náhodné veličiny.

3.4. Číselné charakteristiky náhodné veličiny

Náhodná veličina X je jednoznačně určena rozdělením pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní funkce nebo distribuční funkce (popř. hustoty pravděpodobnosti). Tyto funkce jsou však často poměrně složité a jejich určení pracné. Proto je výhodné shrnout informace o náhodné veličině do několika čísel, které ji dostatečně charakterizují. Tato čísla nazýváme číselné charakteristiky a dělíme je:

podle způsobu konstrukce na charakteristiky:
- momentové
- kvantilové
- ostatní
podle toho, které vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti charakterizují na charakteristiky:
- polohy
- variability
- šikmosti
- špičatosti

¨ 3.4.1. Momentové charakteristiky náhodné veličiny

Jsou konstruovány na základě počátečního momentu μ_k nebo centrálního momentu ν_k:

Definice 3.4.1.
Počáteční (obecný) moment k-tého stupně μ_k náhodné veličiny X je střední hodnota k-té mocniny náhodné veličiny:

Centrální moment k-tého stupně ν_k náhodné veličiny X je:

,
kde μ = μ₁ je počáteční moment 1. stupně náhodné veličiny X.

Poznámka
Praktický význam mají čtyři momentové charakteristiky: μ₁, ν₂, ν₃, ν₄

První počáteční moment μ₁
představuje střední hodnotu náhodné veličiny X
Bývá označován: μ₁ = E(X) = μ
tedy:

Pro střední hodnotu platí:
1. E(c) = c , kde c je konstanta
2. E(c.X) = c.E(X)
3. E(X Y) = E(X) E(Y)
4. E(X.Y) = E(X).E(Y), jsou-li X a Y nezávislé
Druhý centrální moment ν₂
představuje rozptyl (disperzi, varianci)
Označujeme: ν₂ = D(X) = σ²

Pro rozptyl platí:
1. D(c) = 0, kde c je konstanta
2. D(c.X) = c².D(X)
3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), jsou-li X a Y nezávislé
4. . . . se nazývá směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka charakterizují rozptýlenost hodnot náhodné veličiny X kolem střední hodnoty μ

Další dvě číselné charakteristiky jsou vyjádřeny pomocí normovaných momentů. Normovaný moment r-tého stupně n_r náhodné veličiny X je určen vztahem
,
v němž n_r značí centrální moment r-tého stupně a s^r je r-tá mocnina směrodatné odchylky náhodné veličiny X.
Třetí centrální moment ν₃
slouží k určení koeficientu asymetrie, který označujeme ν₃ = A
, kde

Vyjadřuje, do jaké míry a na kterou stranu je rozložení zešikmeno, nebo jestli je symetrické:
A = 0:

zešikmení vlevo: A < 0

zešikmení vpravo: A > 0
Čtvrtý centrální moment ν₄
slouží k výpočtu koeficientu špičatosti (excesu), který značíme e
, kde

Informuje o koncentrovanosti hodnot dané veličiny kolem její střední hodnoty.

Výpočet centrálních momentů lze provádět podle výše uvedeného a nebo s využitím vztahů mezi μ_k a ν_k:

ν₂ = μ₂ - μ₁²
ν₃ = μ₃ - 3μ₂μ₁ + 2μ₁³
ν₄ = μ₄ - 4μ₃μ₁ + 6μ₂μ₁² - 3μ₁⁴

Řešené úlohy

Příklad 3.4.1.
Náhodná veličina X je dána tabulkou:

x_i	1	2	3	4
p_i	0,3	0,1	0,4	?

Určete její číselné charakteristiky

Řešení: p₄ = 1 - (p₁ + p₂ + p₃) = 0,2

Další charakteristiky vypočteme pomocí následující tabulky:

x_i	1	2	3	4	Σ
p_i	0,3	0,1	0,4	0,2	-
x_i.p(x_i)	0,3	0,2	1,2	0,8	2,5
x_i².p(x_i)	0,3	0,4	3,6	3,2	7,5
x_i³.p(x_i)	0,3	0,8	10,8	12,8	24,7
x_i⁴.p(x_i)	0,3	1,6	32,4	51,2	85,5

Tedy:

Příklad 3.4.2. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti:

Určete její číselné charakteristiky

Řešení:

3.4.2. Kvantilové charakteristiky náhodné veličiny

jsou obvykle odvozeny pomocí distribuční funkce F(x)
jsou určovány pro spojitou náhodnou veličinu, pro diskrétní náhodnou veličinu nebývá jejich určení jednoznačné

Definice 3.4.2.
Nechť F(x) je distribuční funkce spojité náhodné veličiny X. Pak hodnota x_p, pro kterou platí F(x_p) = p, kde

, se nazývá p-kvantil

p-kvantil dělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnosti v poměru p:(1-p)

Nejužívanější kvantily:

kvartily: x_0,25, x_0,50, x_0,75
- rozdělí obor možných hodnot na čtyři části, v nichž se náhodná veličina nachází s pravděpodobností 0,25
decily: x_0,1, x_0,2, ..., x_0,9
- rozdělí obor možných hodnot na deset částí se stejnou pravděpodobností výskytu
percentily: x_0,01, x_0,02, ..., x_0,99
- rozdělí obor možných hodnot na sto částí se stejnou pravděpodobností výskytu

x_0,5 = Me . . . medián: dělí plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti na dvě stejné části

Řešené úlohy

Příklad 3.4.3. Určete první decil x_0,1 a třetí kvartil x_0,75 pro

Řešení:

Modus: Mo - je hodnota, v níž nabývá frekvenční funkce maxima:

u diskrétní náhodné veličiny je to hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce p(x_i) dosahuje maxima
u spojité náhodné veličiny je to hodnota, v níž hustota pravděpodobnosti f(x) nabývá lokálního maxima

Řešené úlohy

Příklad 3.4.4. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti:

.
Určete modus.

Řešení: Modus je hodnota, v níž frekvenční funkce (v našem případě hustota pravděpodobnosti) nabývá maxima. Maximum funkce vypočteme pomocí první derivace:

První derivace položíme rovnu nule:

Tato rovnice má dvě řešení:
x = 0 ... toto řešení není přípustné, nula neleží v definičním oboru
x = 2 ... lehce ověříme, že se skutečně jedná o maximum
Mo = 2

3.4.3. Shrnutí

Charakteristiky polohy
E(X), Me, Mo, kvantily. Určují jakýsi "střed", kolem něhož kolísají hodnoty náhodné veličiny X.

Charakteristiky variability
D(X), σ, ... . Ukazují rozptýlenost hodnot náhodné veličiny kolem střední hodnoty

Charakteristiky šikmosti a špičatosti
Charakterizují průběh rozdělení náhodné veličiny X

Ověřte si své znalosti a navštivte stránku s neřešenými úlohami