1. Klasicka, variacni a energeticka formulace
- klasicka formulace (K): -u''(x)=f(x), u(0)=u(1)=0
- energeticky funkcional W(u)
- prostor V := C<0,1> \cap C^1(0,1), v(0)=v(1)=0
- energeticka formulace
- Eulerova nutna podminka existence lok. extremu
- vypocet W'(u)(v)
- slaba (variacni) formulace (V): W'(u)(v)=0
- Odvozeni (V): u resi (K) => u resi (V)
- u resi (V), u'' spojita => u resi (K)
- Rieszova veta
- Pro dukaz existence zuplnime V tak, ze bude se sk. soucinem \int u'*v' Hilbertuv.
- Variacni formulace popisuji vice situaci nez klasicke, napr. zahrnuji v sobe podminky prechodu.

2. Metoda konecnych diferenci
- Srovnani analytickeho reseni s MKD pro ulohu: -u''(x)=1, u(0)=u(1)=0
  MKD interpoluje reseni.
- Pomala konvergence MKD pro ulohu: -u''(x)=1, u(0)=0, -u'(1)=0
  MKD neinterpoluje.
- MKP pro predchozi ulohu opet interpoluje reseni.

3. Variacni formulace, Galerkinova metoda
- k(x)>0 spoj. a spoj. diferencovatelna, f(x) spoj.
- klasicka formulace ulohy (K): -[k(x)*u'(x)]'=f(x), u(0)=0, -k(l)*u'(l)=tau
- analyt. reseni: u(x) = \int_0^x \int_0^y -f(z)/k(y) dz dy + K*x
- prostor V := C<0,1> \cap C^1(0,1), v(0)=0
- odvozeni var. formulace (V): u resi (K) => u resi (V)
- ekvivalence uloh: u resi (V), k(x)*u'(x) spoj. dif. => u resi (K)
- jednoznacnost reseni (V): u1, u2 resi (V) => u1=u2
- poznamka k existenci reseni (V)
- a(u,v) := \int_0^l k*u'*v' je bilinearni forma na V
- b(v) := \int_0^l f*v - tau*v(l) je linearni forma na V
- var. formulace: Hledam u z V tak, ze a(u,v)=b(v) pro vsechna v z V
- Galerkinova metoda: zvolime konecne-dimenzionalni podprostor Vn prostoru V
- Galerkinova formulace (G): Hledam u z Vn tak, ze a(un,vn)=b(vn) pro vsechna vn z Vn
- ekvivalence (G) se soustavou lin. rovnic A*alfa=b
- priklad: -u2''=1, u2(0)=0, -u2'(1)=1, V2 := <x,x^2>  -->  Galerkinovo reseni = analyticke reseni (K)

4. Metoda konecnych prvku v 1d
- lin. prostor U, podprostor test. fci V, afinni prostor reseni UD, necht dnes V=UD
- bilinearni forma a:VxV->R, lin. forma b:V->R
- abstraktni var. formulace (V) Najdi u z V: a(u,v)=b(v) pro vsechny v z V
- energeticka formulace (E) Najdi u z V: J(u)<=J(w) pro vs. w z V, kde J(u) := (1/2)a(u,u)-b(u)
- Je-li navic a symetricka a nezaporna (poz. semidefinitni) na V, pak (V) <=> (E).
- konecne-dimenzionalni podprostor Vn = <phi1,...,phin>
- Galerkinova metoda (Vn) Najdi un z Vn: a(un,vn)=b(vn) pro vsechny vn z Vn
- Ritz-Galerkinova metoda (En) Najdi un z Vn: J(un)<=J(wn) pro vs. wn z Vn
- a(u-un,vn)=0 pro vsechny vn z Vn
- Je-li navic a symetricka a kladna (poz. def.) na V, pak un je a-ortogonalni projekce u na podprostor Vn. Proto priklad z minule hodiny vysel presne.
- (Vn) <=> beta'*A*alfa = beta'*alfa pro vs. beta z Rn <=> A*alfa = b
- MKP = Galerkinova metoda se spec. volbou baze
- MKP-diskretizace intervalu <0,l> do m-ekvidistantnich usecek=prvku (x_{i-1},x_i) respektujicich skoky v k(x) a f(x)
- MKP-bazove funkce - spojite po useckach linearni a takove, ze phi_i(x_j)=\delta_{i,j}
- sestaveni A pomoci lokalnich matic Ap
- matlabovske programy mkp1d.m, alok_derder.m, blok_id.m

5. Metoda konecnych prvku v 1d
- pripomenuti: klasicka formulace, var. formulace, Galerkinova metoda, MKP
- sestaveni matice a vektoru prave strany z lokalnich prispevku
- nehomogenni Dirichletova podminka u(0)=ustriska, metoda partikularniho reseni
- implementace: A*uH = b - Atilda(1:n,:)*uP; u = uH+uP;
- MKP pro ulohu vedeni tepla s vymenou tepla plastem: -(k*u')'+omega*u = f
- dobrovolny DU za 4 body: dokazte, ze MKP-reseni v 1d interpoluje reseni v uzlech diskretizace

6. Var. formulace a MKP ve 2d
- 1d pisemka
- uloha pruhybu membrany se smisenymi okr. podminkami
- odvozeni variacni formulace ulohy, prostor reseni
- Galerkinova metoda
- MKP: diskretizace geometrie

7. MKP ve 2d
- Slaba formulace 2d rovnice difuze s nehomogennimi smisenymi okr. podminky
- Galerkinova metoda, prostory Un = <phi_1,...,phi_{nI},phi_{nI+1},...,phi_n>, Vn, partikularni reseni ustriska
- Metoda vede na soustavu rovnic A*u = b - Astriska*ustriska
- MKP
  a) [P,T,ID,IN] = diskretizuj obdelnik(a,b,h)
  b) Atilda = [ A , Astriska ; ... ], vektor btilda = [ b ; ... ]
  c) Sestaveni Atilda po prvcich -> lokalni matice, lokalni vektory

8. MKP ve 2d
- Pripomenuti slabe formulace, Galerkinovy aproximace, MKP
- Odvozeni lokalni matice
- algoritmus MKP

9. MKP ve 2d, konvergence
- Odvozeni lokalnich vektoru
- Ceaovo lemma, Zlamaluv odhad chyby interpolace, konvergence O(h)
- Priklad

10. Konvergence MKP
- Optimalni aproximace v energeticke norme
- Kvazi-optimalni aproximace v Sobolevove norme (Ceaovo lemma)
- Je-li reseni spojita funkce, odhadneme dist(u,Vh) pomoci po castech linearni interpolace na uzly site.
- V 1d: MKP-reseni je totozne s touto interpolaci, priklad super-linearni konvergence
- Ve 2d: Sob. veta - u z H^2 je spojite, Zlamaluv odhad chyby interpolace dava konvergenci O(h), priklad