4. Základní typy rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny


Průvodce studiem
V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být pouze základní pasivní znalost a orientace v rozloženích, ale měli byste se také naučit tato rozložení od sebe rozlišovat a bezpečně je rozpoznávat.
Předpokládané znalosti
Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti.
Cíle
Cílem této kapitoly je seznámení se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny, odvození jejich základních číselných charakteristik.


Výklad

4.1. Alternativní rozdělení A(p)

Některé náhodné pokusy mohou mít pouze dva různé výsledky: Příslušná náhodná veličina X se pak nazývá alternativní (dvoubodová, nulajedničková).
Tato náhodná veličina nabývá tedy pouze dvou hodnot: 1 - v případě příznivého výsledku pokusu (jev A), 0 - v případě nepříznivého výsledku pokusu (jev A).
Obor hodnot tedy obsahuje dva prvky M = {0,1}.
Používáme označení:P(A) = P(X = 1) = p
P(A) = P(X = 0) = 1 - p

Definice 4.1.1.
Náhodná veličina X s pravděpodobnostní funkcí P(X = 0) = 1 - p, P(X = 1) = p (0 < p < 1) má alternativní rozdělení pravděpodobnosti A(p) s parametrem p.


Řešené úlohy
Příklad 4.1.1.    Hod mincí: W = {líc,rub}
    Jedná se o alternativní rozdělení .
Tedy: M = {0,1}; X = {0 v 1}




4.2. Rovnoměrné rozdělení R(n)

Definice 4.2.1.
Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(n) právě tehdy, když je pravděpodobnostní funkce určena vztahem:
p(x) = , kde n je počet možných výsledků.


Řešené úlohy
Příklad 4.2.1.    Hod kostkou: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - každý výsledek je stejně pravděpodobný.
    Jedná se tedy o rovnoměrné rozdělení R(6),


4.3. Binomické rozdělení Bi(n, p)


Definice 4.3.1.
Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(n, p) právě tehdy, když je pravděpodobnostní funkce určena vztahem:
, kde x = 0, 1, ..., n; n je počet pokusů a p je pravděpodobnost úspěšnosti v každém pokusu.

Binomické rozdělení je tedy příkladem diskrétního rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X, která může nabývat pouze n + 1 hodnot. Při matematickém sestrojení binomického rozdělení vycházíme z Bernoulliova pokusu, který spočívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: A, A s pravděpodobností p, 1 - p. To lze modelovat tzv. binární náhodnou proměnnou Y, pro kterou platí: P(Y = 1) = p a P(Y = 0) = 1 - p. Platí:

E(Y) = 1.p + 0.(1 - p) = p
D(Y) = E(Y - p)2 = p.(1 - p)2 + (1 - p).p2 = (1 - p).p

Náhodná proměnná X vznikne jako součet n nezávislých binárních proměnných Yi s shodnotami 0 nebo 1, které mají všechny stejné rozdělení určené parametrem p:
Z toho plyne:

Vlastnosti binomického rozdělení:

Poznámka
Alternativní rozdělení A(p) je vlastně speciálním případem binomického rozdělení pro n = 1 (A(p) ~ Bi(1,p)).

Řešené úlohy
Příklad 4.3.1.    Student VŠB Pepe má potíže s ranním vstáváním. Proto někdy zaspí a nestihne přednášku, která začíná již v 9 hodin. Pravděpodobnost, že zaspí, je 0,3. V semestru je 12 přednášek - tzn. 12 nezávislých pokusů dorazit na přednášku včas. Nalezněte pravděpodobnost, že Pepe nestihne přednášku v důsledku zaspání v polovině nebo více případů.
Řešení:    Hledaná pravděpodobnost má hodnotu:

Ruční výpočet by v tomto případě byl poměrně zdlouhavý. Máme-li ale k dispozici např. tabulkový procesor Excel, můžeme příklad snadno vypočíst pomocí distribuční funkce binomického rozdělení - v Excelu ji najdeme pod názvem BINOMDIST:
P(X ≥6) = 1 - P(X < 6) = 1 - F(6) = 1 - BINOMDIST(5;12;0,3;1) = 0,118

Rozdělení pravděpodobnosti pro tento příklad je znázorněno graficky na následujícím obrázku:


4.4. Poissonovo rozdělení Po(l)

Toto rozdělení pravděpodobnosti, pojmenované podle francouzského matematika S. D. Poissona, mají náhodné proměnné, které popisují četnosti jevů s těmito vlastnostmi: Průměrný počet výskytů zkoumaného jevu v daném úseku jednotkové délky označujeme l.


Definice 4.4.1.
Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení Po(l) právě tehdy, když má pravděpodobnostní funkce tvar:
v daném jednotkovém úseku, kde x = 0,1,2,... ; l > 0 je parametr.
Případně v úseku délky l (v l-násobku délky jednotkového úseku)

Pro charakteristiky Poissonova rozdělení platí:

Poznámka
S rostoucí hodnotou l se toto rozdělení blíží k normálnímu rozdělení (viz. další kapitola). Jestliže náhodná veličina má binomické rozdělení, pak tvar jejího rozložení se blíží k Poissonovu s parametrem l = n.p, jestliže n je velké a p se blíží k nule. Aproximativně můžeme tedy binomické rozdělení s velkým n a malou hodnotou p nahradit Poissonovým rozdělením.
Součet nezávislých proměnných s Poissonovým rozdělením je opět rozdělen podle tohoto rozdělení. Jestliže máme n pozorování Poissonova rozdělení s parametrem l, pak součet pozorování je možné považovat za pozorování s Poissonovým rozdělením a parametrem nl.

Řešené úlohy
Příklad 4.4.1.    Předpokládejme, že realitní makléř jedná v průměru s pěti zákazníky za den. Zjistěte jaká je pravděpodobnost, že počet zákazníků makléře za jeden den bude větší než 4.
Řešení:    Náhodná veličina X - počet zákazníků přesně splňuje kritéria pro Poissonovo rozdělení. Pravděpodobnostní funkce počtu zákazníků má tedy tvar:

Úlohu nejlépe vyřešíme pomocí opačného jevu:

V Excelu bychom výše uvedenou pravděpodobnost vypočetli pomocí funkce POISSON:
P(X > 4) = 1 - POISSON(4;5;1) = 0,56

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti počtu zákazníků:



4.5. Hypergeometrické rozdělení H(N, M, n)

Předpokládejme, že náhodný pokus, jehož výsledkům je přiřazena alternativní náhodná veličina A(p), opakujeme n-krát, přičemž jednotlivé pokusy jsou vzájemně závislé (výsledek v libovolném pokusu závisí na předcházejících pokusech) - jedná se tedy o výběry bez vracení (opakované pokusy závislé). Pro takto vzniklou náhodnou veličinu X platí:

Definice 4.5.1.
Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení H(N, M, n) právě tehdy, když má pravděpodobnostní funkce tvar:
,
kde N je počet prvků základního souboru; M je počet prvků v základním souboru, které mají požadovanou vlastnost; n je počet pokusů a x = 0, 1, 2, .., n je počet vybraných výrobků, které mají zkoumanou vlastnost.

Poznámka
Pravděpodobnostní funkci hypergeometrického rozložení pravděpodobnosti lze snadno odvodit z klasické definice pravděpodobnosti - viz. kapitola 2.
Vlastnosti:
Řešené úlohy
Příklad 4.5.1.    Mezi stovkou výrobků je 20 zmetků. Vybereme deset výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými.
Řešení:    V tomto případě má náhodná veličina X hypergeometrické rozdělení: X ~ H(100,20,10).
Pravděpodobnostní funkce má tvar:

Takže například pravděpodobnost, že mezi deseti vybranými budou 3 , se vypočte:


Pravděpodobnostní funkci znázorníme opět graficky:


 Ověřte si své znalosti a navštivte stránku s neřešenými úlohami