56. archiv zajímavých úloh

56.1. Dělení Rubikovy kostky

Krychli o rozměru 3×3×3 chceme rozdělit na 27 menších krychlí, jako Rubikovu kostku. Jistě stačí šest řezů (dva kolmo na osu x, dva kolmo na osu y a dva kolmo na osu z), aniž bychom rozdělené části přesouvali.

Otázka

Jaký je nejmenší počet řezů potřebných k rozdělení velké krychle na 27 menších krychlí, jestliže můžeme díly po každém řezu libovolně přesunout nebo otočit a jedním rovinným řezem rozdělit i několik částí najednou? Své tvrzení dokažte.

Zkouška

56.2. Na svobodu

V kobce je jediná chodba, která vede v kruhu. Z chodby vedou pouze dvoje dveře: do hladomorny a na svobodu. Nemůžeme si však vybrat, kterými dveřmi půjdeme ven. Místo toho si před každými dveřmi hodíme mincí. Pokud padne hlava, půjdeme do dveří, pokud padne orel, půjdeme chodbou dál k dalším dveřím. Celý postup se opakuje. Na začátku si můžeme pouze zvolit, kterým směrem se vydáme: vlevo nebo vpravo.

Otázky

a) Kterým směrem je výhodnější se vydat a proč? b) S jakou pravděpodobností se dostaneme na svobodu, jestliže půjdeme doprava a s jakou, když půjdeme doleva?

Zkouška

56.3. Nejedenáctkové součty

Máme dánu množinu čísel 1, 2, ..., 99.

Otázka

Kolik můžeme z této množiny vybrat nejvíce čísel tak, aby součet žádných dvou čísel nebyl dělitelný 11?

Zkouška

56.4. Otrávené sušenky

Na stole leží m × n sušenek pravidelně uspořádaných do obdélníku m × n. Sušenka v levém horním rohu je otrávená (sušenek je více než jedna). Dva hráči střídavě jedí sušenky a ten, který sní otrávenou sušenku, prohrál. V každém tahu vezme hráč některou sušenku a sní ji společně se všemi sušenkami, které se nachází napravo a dolů od vybrané sušenky. Kdyby například vybral sušenku v páté řadě a čtvrtém sloupci, tak sní celkem (m-4)(n-3) sušenek.

Úkol

Ukažte, že hra není spravedlivá a první hráč může vždy vyhrát.

56.5. Barevné čepice III

Úloha navazuje na úlohu Barevné čepice I a Barevné čepice II.

Ve hře "barevné čepice" může skupina n soutěžících vyhrát cenu, pokud alespoň jeden soutěžící uhodne barvu své čepice. Na začátku hry dostane každý soutěžící čepici tak, aby neviděl její barvu. Barevné čepice jsou vybírány náhodně (např. hodem kostky) z n barev. Barvy se tak mohou opakovat, některé barvy se nemusí objevit vůbec.

Soutěžící sedí v řadě kolem půlkulatého stolu a každý vidí čepice všech ostatních, jen ne svoji. Žádné způsoby komunikace nejsou dovoleny. Každý soutěžící napíše na papírek, jakou si myslí, že má jeho čepice barvu.

Otázky

Jakou strategii byste doporučili hráčům, aby po vzájemné domluvě byla jejich šance na výhru co největší? S jakou pravděpodobností získají soutěžící výhru?

Zkouška

(od 13.12.2008)  

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970