40. archiv zajímavých úloh

40.1. Součin vzdáleností v n-úhelníku

Máme pravidelný n-úhelník vepsaný do kružnice o poloměru r. Vrcholy označíme A₁, A₂, ..., A_n.

Otázka

Jaký je součin vzdáleností vrcholu A1 od ostatních vrcholů A2, ..., An a jak se vypočítá?

Zkouška

40.2. Narozeniny ve třídě

Ve třídě je 25 žáků. S jakou pravděpodobností budou dva spolužáci slavit narozeniny ve stejný den?

Otázka

Kolik nejméně musí být ve třídě žáků, aby byla pravděpodobnost společného data narozenin dvou spolužáků větší než 1/2?

Poznámka

Předpokládejme, že nikdo z žáků nemá narozeniny 29. února (v přestupném roce).

Zkouška

40.3. Rok 2007

Na přelomu kalendářního roku se objeví úlohy podobné té následující:

Úkol

Najděte všechna řešení následující soustavy rovnic v oboru přirozených čísel. w x + y z = 2007 w y + z x = 2007 w z + x y = 2007

Poznámka

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že čísla jsou seřazená podle velikosti: w ≥ x ≥ y ≥ z.

Zkouška

40.4. Deset sirek

V řadě vedle sebe leží 10 sirek.

Otázky

Vaším úkolem je udělat z těchto sirek 5 křížků (sirka přes sirku). Sirku smíte přemísťovat pouze přes dvě sousední sirky. Křížek se počítá jako dvojice sirek.

40.5. Stavebnice

Máme stavebnici, jejíž všechny dílky jsou slepené ze sedmi dřevěných krychliček o straně a tak, aby tvořily kostky o straně 2a s jednou vynechanou rohovou krychličkou.

Úkol

Ukažte, že ze stavebnice je možno sestavit libovolnou krychli o velikosti a2n × a2n × a2n tak, aby chyběla jediná rohová krychlička o straně a.

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.

Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz

Aktualizace: 01.01.1970