domovská stránka Petra Kováře
aktuální zajímavé úlohy
archiv zajímavých úloh
tabulka úspěšných řešitelů
Statistický přehled řešení
zadání pěkných úloh, které jsem však ještě neřešil
stránka věnovaná novým úlohám
poslat e-mail
   

37. archiv zajímavých úloh

 listujete v archivu

37.1. Průměry 1 bod

Máme dvě kladná (případně nezáporná) reálná čísla x a y.

Úkol

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Ukažte, že aritmetický průměr (x+y)/2 čísel x a y nemůže být menší než geometrický průměr sqrt(xy) čísel x a y, kde sqrt(c) je druhá odmocnina čísla c.

37.2. Čtyři koně 3 body

Na torzu šachovnice jsou rozmístěny čtyři koně, viz obrázek.

 Čtyři koně na šachovnici.

Otázky

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Přemístěte co nejmenším počtem tahů černé jezdce na pozice bílých a naopak.

Zkouška

Máte-li prohlížeč s podporou JavaScriptu, můžete vyzkoušet, jestli máte správné řešení.

37.3. Půjčka na lichvu 2 body

Z nejstarší české učebnice aritmetiky Nové knížky vo počtech na cifry a liny vydané v letech 1530 a 1558:

Jeden měštěnín vypůjčil sobě "v židech" na lichvu (úrok) tři sta padesát kop od jakéhosi žida, kterýžto na ten způsob mu půjčil, aby každý rok mu ze sta kop pět kop dal, tak dlouho, dokud by jich užíval. Co musí tomu židu dáti z hlavní sumy zisku a ziskův zisk (úrok z úroku), jestli těch peněz šest let užíval?

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Kolik musí měšťan židovi zaplatit na úrocích?

Zkouška

Máte-li prohlížeč s podporou JavaScriptu, můžete vyzkoušet, jestli máte správné řešení.
  kop  

37.4. Převrácené hodnoty a třetí mocniny 3 body

Máme dvě reálná čísla. Součet jejich převrácených hodnot je -1 a součet jejich třetích mocnin je 4.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jaká jsou to čísla?

Zkouška

Máte-li prohlížeč s podporou JavaScriptu, můžete vyzkoušet, jestli máte správné řešení.
Hledaná čísla označíme x a y. Jaká jsou to čísla (zaokrouhleno na tři desetinná místa)?  

37.5. Náhrdelník z drahokamů 3 body

Dva zloději ukradli náhrdelník. Náhrdelník je sestaven z drahokamů (rubínů a diamantů) po řadě spojených řetízkem. Svůj lup by si chtěli rozdělit tak, aby každý dostal stejný počet diamantů i rubínů.

Úkol

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Ukažte, že pokud náhrdelník obsahuje sudý počet diamantů (2d) a sudý počet rubínů (2r), je vždy možné rozdělit náhrdelník na dvě části tak, aby každá část obsahovala polovinu rubínů i polovinu diamantů.

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.


separator
Kontaktní e-mail Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz Aktualizace: 01.01.1970