domovská stránka Petra Kováře
aktuální zajímavé úlohy
archiv zajímavých úloh
tabulka úspěšných řešitelů
Statistický přehled řešení
zadání pěkných úloh, které jsem však ještě neřešil
stránka věnovaná novým úlohám
poslat e-mail
   

15. archiv zajímavých úloh

listujete v archivu

15.1. Sedm krát sedm bodů I 2 body

V rovině je nakreslena pravidelná síť 49 bodů (sedm řad po sedmi bodech). Úkolem je spojit všech 49 bodů lomenou čarou. Lomená čára smí procházet některými body vícekrát, nesmí však nepřekročit hranice sítě 7×7 bodů.

Spojit body lomenou čarou o třinácti úsecích podle zadání je jednoduché. Jak ale spojit všechny body lomenou čarou o dvanácti úsecích?

Pravidelná síť 7 krát 7 bodů.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jak spojit všech 49 bodů lomenou čarou o dvanácti úsecích, která nepřekročí hranice sítě 7×7 bodů?

15.2. Jak nabarvit nekonečno 5 bodů

Mějme nekonečný proužek papíru jako na prvním obrázku. První díl je čtverec o straně 1. Každá další část má délku vždy 2× větší a výšku 2× menší než předcházející díl. Každá z částí proužku má plochu 1.

Plocha celého proužku je

S = 1 + 1 + 1 + ...,
je tedy nekonečně velká a na její obarvení spotřebujeme nekonečně mnoho barvy.

Nekonečný proužek papíru složený z obdélníků o jednotkovém obsahu.

Necháme-li proužek rotovat kolem osy tvořené základnou obdélníků, vznikne soustava válců. První válec má objem pi r2v = pi 12 1 = pi. Druhý válec má objem pi(1/2)2 2 = pi/2, třetí pi/4, atd.

Objem celé soustavy válců je

V = pi + pi/2 + pi/4 + ... = pi(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = 2pi.
Objem celé soustavy je konečný.

Nalejeme-li do soustavy válců uvedené množství barvy a ponoříme-li do ní proužek papíru, bude po vytažení nabarven (dokonce z obou stran) konečným množstvím barvy.

Nekonečná soustava válců.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jak je to možné? Vysvětlete!

15.3. Limonáda s ledem 1 bod

Do sklenici tvaru válce, jehož podstava (kruh) má obsah 18 cm2, vhodíme kostku ledu o straně 3 cm a dolejeme limonádu až po okraj sklenice. Část ledové kostky ční nad okraj sklenice.

Hustota ledu je 900 kg/m3, hustota limonády je stejná jako hustota vody.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Kolik limonády přeteče přes okraj sklenice až led úplně roztaje?

Poznámka

Zanedbáme změnu objemu limonády a změnu objemu sklenice způsobenou změnou její teploty.


15.4. Trojúhelník daný součtem odvěsen a výškou 3 body

Pravoúhlý trojúhelník je dán součtem odvěsen a+b=221 a výškou na přeponu vc=60.

Otázka

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jaké jsou strany trojúhelníku?

Zkouška

Máte-li prohlížeč s podporou JavaScriptu, můžete vyzkoušet, jestli máte správné řešení.

15.5. Fraktální čára I 1 bod 1 bod

Máme úsečku délky 1. Rozdělíme ji na třetiny a prostřední díl nahradíme:

Úsečka délky 1.

a) částí obvodu čtverce (přidáme dvě úsečky),

Prostřední třetina úsečky je nahrazena částí čtverce.

b) částí obvodu rovnostranného trojúhelníku (přidáme jednu úsečku).

Prostřední třetina úsečky je nahrazena částí trojúhelníku.

Totéž provedeme pro každou nově přidanou část lomené křivky. Jaká je délka křivky po nekonečně mnoha krocích, kdy nahradíme vždy 1/3 každého nově přidaného úseku?

Otázky

máte-li správně nastavený prohlížeč, můžete kliknutím otevřít poštu a poslat řešení Jaká je délka lomené čáry a)? (1b)
Jaká je délka lomené čáry b)? (1b)

Odkazy

Zkuste vyřešit aktuální úlohu. Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.

Jdi na předchozí archiv / následující archiv.


separator
Kontaktní e-mail Dotazy a připomínky na adresu Petr.Kovar@vsb.cz Aktualizace: 01.01.1970