15. archiv zajímavých úloh |
|
V rovině je nakreslena pravidelná síť 49 bodů (sedm řad po sedmi bodech). Úkolem je spojit všech 49 bodů lomenou čarou. Lomená čára smí procházet některými body vícekrát, nesmí však nepřekročit hranice sítě 7×7 bodů.
Spojit body lomenou čarou o třinácti úsecích podle zadání je jednoduché. Jak ale spojit všechny body lomenou čarou o dvanácti úsecích?
|
|
Otázka
|
Jak spojit všech 49 bodů lomenou čarou o dvanácti úsecích, která nepřekročí hranice sítě 7×7 bodů? |
Mějme nekonečný proužek papíru jako na prvním obrázku. První díl je čtverec o straně 1. Každá další část má délku vždy 2× větší a výšku 2× menší než předcházející díl. Každá z částí proužku má plochu 1.
Plocha celého proužku je
S = 1 + 1 + 1 + ...,
je tedy nekonečně velká a na její obarvení spotřebujeme nekonečně mnoho barvy.
|
|
Necháme-li proužek rotovat kolem osy tvořené základnou obdélníků, vznikne soustava válců. První válec má objem pi r2v = pi 12 1 = pi . Druhý válec má objem pi(1/2)2 2 = pi/2 , třetí pi/4 , atd.
Objem celé soustavy válců je
V = pi + pi/2 + pi/4 + ... = pi(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = 2pi.
Objem celé soustavy je konečný.
Nalejeme-li do soustavy válců uvedené množství barvy a ponoříme-li do ní proužek papíru, bude po vytažení nabarven (dokonce z obou stran) konečným množstvím barvy.
|
|
Otázka
|
Jak je to možné? Vysvětlete! |
Do sklenici tvaru válce, jehož podstava (kruh) má obsah 18 cm2, vhodíme kostku ledu o straně 3 cm a dolejeme limonádu až po okraj sklenice. Část ledové kostky ční nad okraj sklenice.
Hustota ledu je 900 kg/m3, hustota limonády je stejná jako hustota vody.
Otázka
|
Kolik limonády přeteče přes okraj sklenice až led úplně roztaje? |
Poznámka
Zanedbáme změnu objemu limonády a změnu objemu sklenice způsobenou změnou její teploty.
Pravoúhlý trojúhelník je dán součtem odvěsen a+b=221 a výškou na přeponu vc=60.
Otázka
|
Jaké jsou strany trojúhelníku? |
Zkouška
Máte-li prohlížeč s podporou JavaScriptu, můžete vyzkoušet, jestli máte správné řešení.
Máme úsečku délky 1. Rozdělíme ji na třetiny a prostřední díl nahradíme:
|
|
a) částí obvodu čtverce (přidáme dvě úsečky),
|
|
b) částí obvodu rovnostranného trojúhelníku (přidáme jednu úsečku).
|
|
Totéž provedeme pro každou nově přidanou část lomené křivky. Jaká je délka křivky po nekonečně mnoha krocích, kdy nahradíme vždy 1/3 každého nově přidaného úseku?
|
Otázky
|
Jaká je délka lomené čáry a)? (1b)
Jaká je délka lomené čáry b)? (1b) |
Odkazy
Zkuste vyřešit aktuální úlohu.
Můžete se podívat na tabulku úspěšných řešitelů nebo na stránku věnovanou novým úlohám.
Jdi na předchozí archiv / následující archiv.
|