Základní množinové pojmy

Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Množina, označení

Definice (Cantorova pseudodefinice množiny): Množinou rozumíme souhrn libovolných, ale určitých objektů našeho nazírání nebo myšlení, shrnutých v jeden logický celek. Tyto objekty nazýváme prvky množiny.

Je zřejmé, že pro každou množinu existuje pravidlo, podle kterého lze rozhodnout, zda libovolný objekt reálného nebo imaginárního světa patří nebo nepatří dané množině (určující pravidlo množiny). Toto pravidlo mívá mnoho podob: výrok, matematickou formuli,výčet prvků apod.

Označení: Množiny se většinou označují velkými latinskými písmeny, prvky množin malými latinskými písmeny. Skutečnost, že nějaký objekt a je prvkem množiny P, zapisujeme

a ∈ P, popř. P ∋ a

a čteme: a je elementem (prvkem) P, popř. P obsahuje a. Skutečnost, že nějaký objekt a není prvkem množiny P, zapisujeme

a ∉ P

Definice: Množina se nazývá konečná, má-li konečně mnoho prvků. Každá množina, která není konečná, je nekonečná. Přitom konečná množina s nulovým počtem prvků se nazývá prázdná množina a označuje se ∅, {∅} nebo jen {}.

Označení: Případ definování (konečné) množiny výčtem n prvků se symbolicky zapisuje

P = {a₁, a₂, ..., a_n}

Případ definování množiny pomocí vlastnosti V se symbolicky zapisuje

P = { a˝ a ∈ D; V (a) }

kde D určuje zdroj prvků; čte se: množina P je množina všech takových a z D, pro které vlastnost V(a) je splněna.

Podmnožina

Definice, označení: Jsou-li P a Q dvě množiny a je-li každý prvek množiny P současně prvkem množiny Q, říkáme, že množina P je podmnožinou množiny Q a zapisujeme

P ⊆ Q

Je-li současně Q⊆P, pak říkáme, že množiny P a Q jsou totožné a zapisujeme

P ≡ Q

Označení: Je-li P ⊆ Q, ale není-li současně P ≡ Q, pak zapisujeme

P ⊂ Q

Prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pro libovolnou množinu P tedy platí: {∅} ⊆ P.

Sjednocení a průnik

Definice: Sjednocení P Č Q dvou libovolných množin P, Q je množina definovaná takto:

P Č Q = { x˝ x ∈ P Ú x ∈ Q }

Definice: Průnik P Ç Q dvou libovolných množin P, Q je množina definovaná takto:

P Č Q = { x˝ x ∈ P Ů x ∈ Q }

Definice: Dvě množiny jsou disjunktní, je-li jejich průnik prázdný (tedy neobsahují žádný společný prvek).

Definice: Nechť S je množina množin, S = { A₁, A₂, ... , A_n }. Takovou množinu nazýváme systémem množin A_i. Sjednocením ČS systému S nazýváme množinu A₁ Č A₂ Č ... Č A_n. Průnikem ÇS systému S nazýváme množinu A₁ Ç A₂ Ç ... Ç A_n.

Definice: Systém S je disjunktním systémem, platí-li pro libovolné dvě množiny A_i, A_j z S, že jejich průnik je prázdný: A_i Ç A_j = {∅}.

 

Rev. 08 / 2016